বলুন তো কোন সংখ্যাটি বড়?

সংখ্যা নিয়ে হিসাব-নিকাশের মধ্যে অনেক মজা আছে। দুটি সংখ্যার মধ্যে কোনটি বড় বা ছোট, এটা যেমন বুদ্ধি খাটিয়ে বের করতে হয়; তেমনি কিন্তু আরও জটিল—আসলে সহজ, এমন অনেক সমস্যার সমাধান সাধারণ বুদ্ধি খাটিয়ে বের করার মধ্যে আনন্দ আছে।

যেমন ধরুন, তিনটি বেজোড় অঙ্কের সংখ্যাগুলো বের করতে হবে, যার প্রতিটি অঙ্ক শুধু একবার করেই ব্যবহৃত হতে পারবে এবং অঙ্ক তিনটির যোগফল ১৫, যা একটি বেজোড় সংখ্যা। এই প্রশ্নের সহজ উত্তর বের করার জন্য প্রথমে আমরা দেখব ১৫-এর উৎপাদকগুলো কী হতে পারে। ১৫ = ৫ × ৩। সুতরাং ৩টি ৫-এর যোগফল ১৫। ১৫ = (৫ + ৫ + ৫)। কিন্তু সংখ্যাটি ৫৫৫ হতে পারবে না, কারণ আমরা চাই প্রতিটি অঙ্ক হবে ভিন্ন। তাই দেখা যাক ৫-কে দশকের ঘরে রেখে এর ডানে ও বাঁয়ে, অর্থাৎ একক ও শতকের ঘরে ২, ৪... ইত্যাদি যোগ-বিয়োগ করে সাজানো যায় কি না। যেমন: ১৫ = (৩ + ৫ + ৭) = ( ১ + ৫ + ৯)। এর প্রতিটি অঙ্ক বেজোড়। সুতরাং সংখ্যাগুলো হলো ৩৫৭, ৭৫৩, ১৫৯, ৯৫১ ... ইত্যাদি
এ রকম আরেকটি সমস্যা দেখুন। প্রশ্ন করলাম, ২১৭ সংখ্যাটি কতটি সংখ্যার গুণফল? এর সহজ উত্তর পাওয়ার জন্য প্রথমে দেখব সংখ্যাটি ৭ দিয়ে বিভাজ্য। ২১৭ = ৭ × ৩১। যেহেতু ৩১ একটি মৌলিক সংখ্যা, তাই এর আর কোনো উৎপাদক থাকতে পারে না। সুতরাং উত্তর, ৭ ও ৩১–এর গুণফল ২১৭।

এ সপ্তাহের সমস্যা
বলুন তো (৩০)^৩১ বড়, নাকি (৩১)^৩০ বড়?

গত সপ্তাহের প্রশ্নের উত্তর
সমস্যাটি ছিল এ রকম: তিন অঙ্কের একটি সংখ্যার অঙ্ক তিনটির যোগফল ৬। সংখ্যাটিকে উল্টিয়ে লিখলে বিয়োগফল ১৯৮। সংখ্যাটির শতকের ঘরের ও দশকের ঘরের অঙ্ক দুটির স্থান পরিবর্তন করে লিখলে বিয়োগফল ৯০। সংখ্যাটি কত?
উত্তর
সংখ্যাটি ৩২১। কারণ (৩ + ২ + ১) = ৬। (৩২১ -১২৩) = ১৯৮। এবং (৩২১ - ২৩১) = ৯০।
সঠিক উত্তর প্রায় সবাই দিয়েছেন। অবশ্য দু-একজন ভুলবশত উত্তর লিখেছেন ১২৩। তবে সেটা সামান্য ভুল। সবাইকে ধন্যবাদ।
কীভাবে উত্তরটি পেলাম
লক্ষ করলে দেখব, বিয়োগফল ১৯৮ এবং শতক ও এককের ঘরের অঙ্কগুলো স্থান পরিবর্তন করলে বিয়োগফল ৯০। এগুলো ধনাত্মক সংখ্যা। তাই শতক, দশক ও এককের ঘরের অঙ্কগুলো বড় থেকে ছোট হতে হবে। এবার কয়েকটি সংখ্যা ধরে মনে মনে হিসাব করে উত্তর বের করা যায়।
তবে বীজগণিত দিয়ে সহজে উত্তর বের করা যায়। সংখ্যাটি যদি ক খ গ হয়, তাহলে (ক + খ + গ) = ৬। (ক খ গ - গ খ ক) = ১৯৮ এবং (ক খ গ - খ ক গ) = ৯০। তিনটি অজানা রাশির জন্য তিনটি সমীকরণ রয়েছে। সুতরাং এর সমাধান সহজেই সম্ভব।
আমরা দেখছি, (১০০ ক + ১০ খ + গ) - ( ১০০ গ + ১০ খ + ক) = ১৯৮
বা, (৯৯ ক -৯৯ গ) = ১৯৮
বা, (ক - গ) = ১৯৮/৯৯ = ২ ... (i)
আবার, (১০০ ক + ১০ খ + গ) - (১০০ খ + ১০ ক + গ) = ৯০
বা, (৯০ ক -৯০ খ) = ৯০
বা, (ক - খ) = ৯০/৯০ = ১ ... (ii)
এবং, (ক + খ + গ) = ৬ ... (iii)
এখন আমরা সহজেই বের করতে পারি, ৩ ক = ৯, বা, ক = ৩, খ = ২ ও গ = ১।
[email protected]