বলুন তো কতটি সংখ্যা হতে পারে?

আমাদের মধ্যে যারা গণিত থেকে একটু দূরে দূরে থাকি, তাদের কাছে গণিত অনেক সময় বেশ কঠিন মনে হয়। গণিতের কোনো সমস্যা নিয়ে হিমশিম খেতে হয়। অথচ একটু চিন্তা করলেই বোঝা যায়, সমস্যা তেমন কিছু নয়। যেমন: প্রশ্ন করলাম, দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩: ৫ এবং সংখ্যা দুটির যোগফল ২৪। এখন বলতে হবে, বড় সংখ্যাটি কত? অন্য সংখ্যাটিই-বা কত? এর উত্তর বের করার জন্য আমরা দৈনন্দিন জীবনের কিছু অভিজ্ঞতা কাজে লাগাতে পারি। যেমন বাসায় আমাদের কারও জন্মদিন উদ্‌যাপন করা হবে। একটা বড় কেক। ২৪ জন অতিথি। এক ঘরে আছেন ৯ জন, অন্য ঘরে ১৫ জন। কেক কেটে কীভাবে সবার মধ্যে সমান ভাগ করব? প্রথমে কেক লম্বালম্বি সমান দুই ভাগে ভাগ করি। হলো ২ টুকরো। এরপর আড়াআড়ি সমান দুই ভাগ করি। হলো ৪ টুকরো। এরপর কোনাকুনি ডান থেকে বাঁ ও বাঁ থেকে ডান দিকে সমান ভাগে ভাগ করি। মোট হলো ৮ টুকরা। এবার একদিকে ৩ টুকরো ও অন্যদিকে ৫ টুকরো আলাদা করে রাখি। তার মানে পুরো কেক আমি ৩: ৫ অনুপাতে ভাগ করলাম। এখন প্রতিটি টুকরো যদি সমান ৩ ভাগে ভাগ করি, তাহলে একপাশে ৯ ও অন্য পাশে ১৫ টুকরো হবে। এবার এক ঘরে ৯ টুকরো ও অন্য ঘরে ১৫ টুকরো কেক সমান ভাগে ভাগ করে দিতে পারি।


গণিতের ভাষায় একই ঘটনা বর্ণনা করার জন্য আমরা বলব, প্রথমে অনুপাতের অংশগুলো যোগ করে পাই ৮। সুতরাং, এক ভাগে থাকবে ৮ ভাগের ৩ অংশ। অর্থাৎ মোট ২৪-এর ৩/৮ = ৯। অন্য ভাগে ২৪-এর ৫/৮ = ১৫। উত্তর: বড় অংশ ১৫ ও অন্য অংশ ৯।

এ রকম আরেকটি প্রশ্ন। প্রথমে মনে হবে কত কঠিন। আসলে তো খুব সহজ। বলুন তো, এমন কোনো দুটি সংখ্যার যোগফল ও গুণফল সমান? আপনারা তো চট করে বলবেন ২ আর ২। উত্তর ঠিক। কারণ, (২ + ২) = ৪
এবং ২ × ২ = ৪। কিন্তু আরও একটি উত্তর আছে। ০ ও ০। এদের যোগফল ০, গুণফলও ০। তবে সংখ্যা বা অঙ্ক বলতে যা বোঝায়, ০-কে আমরা সাধারণত সেই পর্যায়ে ধরি না। এখানে প্রশ্ন ওঠে, এ রকম দুটি সংখ্যা কি আর নেই? না নেই। প্রমাণ আছে? হ্যাঁ আছে। দেখুন, কী সুন্দরভাবে প্রমাণ করে দিচ্ছি। মনে করি, প্রদত্ত শর্ত পূরণ করে এমন দুটি সংখ্যা ক ও খ। শর্ত অনুযায়ী (ক + খ) = ক × খ। তাহলে ক = (ক × খ - খ) = খ × (ক -১)। তাহলে খ = ক / (ক - ১)। এখন ক-এর বিভিন্ন মান বসিয়ে দেখি তো খ-এর মান কত হয়? ধরা যাক ক = ০, তাহলে খ = ০। যদি ক = ১ হয়, খ = ১/০ = অনির্ণেয়! এটা চলবে না। যদি ক = ২ হয় তাহলে খ = ২। এটা ঠিক আছে। যদি ক = ৩ হয়, খ = ৩/২ = ১.৫, পূর্ণ সংখ্যা নয়। তাই চলবে না। যদি ক = ৪ হয়, খ = ৪/৩ = ১.৩৩৩, পূর্ণ সংখ্যা নয়। চলবে না। দেখা যাচ্ছে ক-এর মান ২-এর চেয়ে বেশি হলে উত্তর পাওয়া যায় না। সুতরাং উত্তর মাত্র দুটি, (০, ০) এবং (২, ২)।

এ সপ্তাহের প্রশ্ন
০ থেকে ৯ পর্যন্ত ১০টি অঙ্কের মধ্যে চারটি করে অঙ্ক যতভাবে সম্ভব সাজিয়ে লিখলে কতটি সংখ্যা পাওয়া যাবে?

এ প্রশ্নের উত্তর আপনারা অনলাইনে বা আমার ই-মেইলে পাঠিয়ে দিতে পারেন।

গত সপ্তাহের প্রশ্নের উত্তর
প্রশ্নটি ছিল এ রকম: তিন অঙ্কের কোন সংখ্যা তার অঙ্কগুলোর যোগফলের ১৩ গুণ?
উত্তর: এ রকম সংখ্যা অনেক হতে পারে। এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি ১১৭। প্রায় সবাই সঠিক উত্তর দিয়েছেন। ধন্যবাদ সবাইকে।

কীভাবে উত্তর বের করলাম
যেহেতু সংখ্যাটি অঙ্কগুলোর যোগফলের ১৩ গুণ, তাই ১৩-এর ১, ২, ৩, ৪, ... গুণ সংখ্যাগুলো প্রথমে পরীক্ষা করে দেখি। সংখ্যাটি ৩ অঙ্কের বলে প্রথমে দেখব ১৩ × ৮ = ১০৪। এটা হবে না, কারণ অঙ্কগুলোর যোগফল মাত্র ৫ এবং এর ১৩ গুণ ৬৫। এরপর ১৩ × ৯ = ১১৭। এটাই উত্তর। কারণ, অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ এবং এর ১৩ গুণই হলো সংখ্যাটি। এর চেয়ে বড় আরও অনেক সংখ্যা অবশ্য আছে। আমরা এখানে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি উল্লেখ করলাম।
[email protected]