বলুন তো সমান্তর ধারার সংখ্যা তিনটি কত?

সমান্তর ধারার বিভিন্ন সমস্যার সমাধান আমরা এর আগেও করেছি। এবার একটি মজার ধাঁধা দিচ্ছি। বেশ সহজ, কিন্তু মাথা খাটাতে হয়। আমরা এই কলামে সাধারণত গণিতের সহজ কিন্তু জটিল ধাঁধা দিই। কারণ এটা সবার জন্য। সবাই তো আর গণিতে পাকা নয়। অথচ একটু মাথা খাটাতে সবাই চান। কিন্তু যদি বেশি জটিল ধাঁধা দিই, তাহলে হয়তো অনেকে উত্সাহ হারিয়ে ফেলবেন। অথচ আমাদের দৈনন্দিন জীবনে এ ধরনের ছোটখাটো গণিতের বেশ প্রয়োজন পড়ে।
মূল ধাঁধায় যাওয়ার আগে আসুন আমরা গণিতের দুটি সহজ সমাধানের কৌশল জেনে নিই। ধরা যাক প্রশ্ন করলাম, তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত, যা ১ থেকে ৫ পর্যন্ত সব সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য? এর উত্তরের জন্য আমরা প্রথমেই ১ থেকে ৫ পর্যন্ত পাঁচটি সংখ্যার ল.সা.গু. বের করি। ল.সা.গু. হলো সেই ক্ষুদ্রতম সংখ্যা, যা আলোচ্য সংখ্যাগুলো দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। এখানে ল.সা.গু. হলো ৬০। কিন্তু এটা তো দুই অঙ্কের সংখ্যা। আমাদের দরকার তিন অঙ্কের সংখ্যা। সুতরাং ৬০-এর দ্বিগুণ করে দেখি কী হয়? ৬০×২ = ১২০। এটা যেহেতু তিন অঙ্কের, তাই এটাই আমাদের উত্তর।
গণিতের আরেকটি জটিল সমস্যার সমাধান কত সহজ, দেখুন। প্রশ্ন করলাম, ২ ও ৭ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম বর্গসংখ্যাটি কত? এর উত্তরের জন্য প্রথমে আমরা ২ ও ৭-এর ল.সা.গু. বের করি। যেহেতু ২ ও ৭-এর মধ্যে কোনো সাধারণ উত্পাদক নেই, তাই এদের ল.সা.গু. = ২×৭ = ১৪। কিন্তু এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। এখন ১৪-কে ২, ৩, ৪...দিয়ে গুণ করে গুণফল পূর্ণ বর্গসংখ্যা কি না, তা পরীক্ষা করি। দেখা গেল (১৪×১৪) = ১৯৬ সংখ্যাটিই নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম বর্গসংখ্যা, যা ২ এবং ৭ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য।
এ সপ্তাহের ধাঁধা
আচ্ছা বলুন তো, যদি একটি সমান্তর ধারার (অ্যারিথমেটিক প্রোগ্রেশন) তিনটি পর্যায়ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৯ এবং সংখ্যা তিনটির প্রতিটির বর্গের যোগফল ৩৫ হয়, তাহলে সংখ্যা তিনটি কত?
খুব সহজ। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা quayum@gmail. com ই-মেইলে উত্তর পাঠিয়ে দিন। সঠিক উত্তর জানার জন্য দেখুন আগামী রোববার অনলাইনে।
গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: ৭ বা ৭-এর চেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যাগুলোর শেষ অঙ্কগুলো (ডিজিট) কত হতে পারে?
উত্তর
সম্ভাব্য অঙ্কগুলো ১, ৩, ৭ ও ৯
অনলাইন মন্তব্যে এবং ই-মেইলে প্রায় সবাই সঠিক উত্তর দিয়েছেন। সবাইকে ধন্যবাদ।
কীভাবে উত্তর বের করলাম
আমরা জানি, কোনো সংখ্যার শেষ অঙ্কটি ০, ২, ৪, ৬ ও ৮ হলে সেগুলো জোড় সংখ্যা এবং সে কারণে ২ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। তাই কোনো মৌলিক সংখ্যার শেষে এই অঙ্কগুলো থাকতে পারে না। অবশিষ্ট থাকল ১, ৩, ৫, ৭ ও ৯। এদের মধ্যে ৫-এর চেয়ে বড় কোনো সংখ্যার শেষে ৫ থাকলে সেটা ৫ দিয়ে বিভাজ্য হবে এবং সে কারণে মৌলিক সংখ্যা হতে পারে না। তাহলে থাকল ১, ৩, ৭ ও ৯। তাই আমরা বলতে পারি, ৭ বা ৭-এর চেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যার শেষ অঙ্কগুলো হতে পারে ১, ৩, ৭ ও ৯। এখানে লক্ষণীয় বিষয় হলো শেষ অঙ্কগুলো ১, ৩, ৫ ও ৯ হতে পারে। কিন্তু সবই যে মৌলিক সংখ্যা হবে তা নয়। যেমন ১১, ১৩, ১৭, ১৯ ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যা হলেও ১২১, ৩৩, ৭৭ প্রভৃতি মৌলিক সংখ্যা নয়। সে জন্যই প্রশ্নে বলা হয়েছে ‘...শেষ অঙ্কগুলো (ডিজিট) কত হতে পারে?’।