শেষ ভাগফল কত?

প্রথমে আসুন গণিতের কয়েকটি সাধারণ বিষয় নিয়ে আলোচনা করি। অনেক সময় কয়েকটি সংখ্যার গড় বের করতে হয়। যেমন: ৫, ৩, ৩, ৩ ও ১, এই পাঁচটি সংখ্যার গড় কত? সাধারণ নিয়মে আমরা সংখ্যাগুলোর যোগফল বের করে মোট সংখ্যা ৫ দিয়ে ভাগ করি। গড় = (৫ + ৩ + ৩ + ৩ + ১) / ৫ = (১৫) / ৫ = ৩। কিন্তু আমরা আরও সহজে গড় বের করতে পারি। প্রথমে দেখি, তিনটি ৩ আছে। অবশিষ্ট ৫ ও ১ সংখ্যা দুটি ৩ থেকে ২ বেশি ও ২ কম। ৩ থেকে এই সংখ্যা দুটির পার্থক্য যেহেতু সমান, তাই গড় ৩। অর্থাৎ মাঝামাঝি এমন একটি সংখ্যা বেছে নিতে হবে যেন তার চেয়ে ছোট ও বড় সংখ্যাগুলোর পার্থক্যের সমষ্টি সমান হয়। তাহলে সেই সংখ্যাটিই হবে গড়।
আরেকটি মজার সমস্যা দেখুন। তিন অঙ্কের এমন দুটি ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম সংখ্যা বের করতে হবে, যাদের যোগফলটি হবে তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা। এ সমস্যা সমাধানের জন্য আমরা প্রথমেই লক্ষ করব যে যোগফল হতে হবে তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা। এই সংখ্যাটি নিশ্চয়ই ৯৯৯। অর্থাৎ যোগফল হতে হবে ৯৯৯। এখন দেখা যাক ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম সংখ্যা দুটি কী হতে পারে। তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০ এবং তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা সংখ্যা ৯৯৯। এদের যোগফল (১০০ + ৯৯৯) = ১০৯৯। এটি যেহেতু চার অঙ্কের, অথচ আমাদের যোগফল হতে হবে তিন অঙ্কের, তাই সংখ্যা দুটি কম-বেশি করতে হবে। অনেকভাবেই করা যায়। তবে সবচেয়ে সহজে করার উপায় হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০ অপরিবর্তিত রেখে ৯৯৯-এর শতকের ঘরে ৯-এর পরিবর্তে ৮ লেখা। সে ক্ষেত্রে তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৮৯৯। তাহলে যোগফল হবে (১০০ + ৮৯৯) = ৯৯৯। অন্যভাবে, সংখ্যাগুলো হতে পারে (১০১ ও ৮৯৮), (১০২ ও ৮৯৭) ... ইত্যাদি। প্রতিটি ক্ষেত্রে যোগফল ৯৯৯।
এ সপ্তাহের ধাঁধা
আপনি যেকোনো একটি সংখ্যা বেছে নিন। সংখ্যাটি যদি জোড় হয়, তাহলে তাকে ২ দিয়ে ভাগ করুন। আর যদি বিজোড় হয়, অথবা ভাগফল যদি বিজোড় হয়, তাহলে একে ২ দিয়ে গুণ করে ২ যোগ করুন। এরপর ২ দিয়ে ভাগ করুন। এবার একই প্রক্রিয়া বারবার অনুসরণ করতে থাকলে শেষ পর্যন্ত প্রতিবারই আপনি একটি অভিন্ন সংখ্যায় পৌঁছাবেন। সেই সংখ্যাটি কত?
একটু চিন্তা করলেই উত্তর খুঁজে পাবেন। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা quayum@gmail. com ই-মেইলে উত্তর পাঠিয়ে দিন। সঠিক উত্তর জানার জন্য দেখুন আগামী রোববার অনলাইনে।
গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: ৩ থেকে ৯৯ পর্যন্ত যে সংখ্যাগুলো ৩–এর গুণিতক, অর্থাৎ ৩ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য, তাদের যোগফল কত?
উত্তর
৩-এর গুণিতক সংখ্যাগুলোর যোগফল = ১৬৮৩।
খুব কমসংখ্যক পাঠক উত্তর পাঠিয়েছেন। তাঁদের সবার উত্তরই ছিল সঠিক। সবাইকে ধন্যবাদ।
কীভাবে উত্তরটি বের করলাম
একটু চিন্তা করলেই আমরা ধরতে পারব যে ৩-এর গুণিতক সংখ্যাগুলো যথাক্রমে ৩, ৬, ৯, ১২ ... ৯৯। সুতরাং এদের যোগফল = (৩ + ৬ + ৯ + ... + ৯৯)। এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ ৩, শেষ পদ ৯৯, পদসংখ্যা = (৯৯-৩) / ৩ + ১ = (৯৬ /৩) + ১ = (৩২ + ১) = ৩৩। সুতরাং পাটিগণিতের সূত্র অনুযায়ী, যোগফল = (প্রথম পদ + শেষ পদ) × পদসংখ্যা/ ২ = (৩ + ৯৯) × ৩৩ / ২ = ১০২ × ৩৩/ ২ = ৫১ × ৩৩ = ১৬৮৩