বলুন তো অবশিষ্ট কত?

মূল ধাঁধায় যাব, তার আগে আসুন দুটি মজার সমস্যার সমাধানের কৌশল জেনে নিই। ধরুন প্রশ্ন করলাম, একটি সংখ্যাকে ২১ দিয়ে ভাগ করলে ২ অবশিষ্ট থাকে। সেই সংখ্যাকে ৭ দিয়ে ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকবে? এর উত্তর আমরা কীভাবে বের করব? সহজ উপায় হলো লক্ষ্য করা যে ২১–এর একটি উত্পাদক ৭। সুতরাং সেই একই সংখ্যাকে যদি ৭ দিয়ে ভাগ করি, তাহলেও অবশিষ্ট থাকবে ২। কারণ, ধরা যাক সংখ্যাটি ক। তাহলে (ক-২) সংখ্যাটি ২১ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। যেহেতু ২১ সংখ্যাটি ৭ দিয়ে বিভাজ্য, তাই (ক-২) সংখ্যাটি ৭ দিয়েও নিঃশেষে বিভাজ্য। যেমন, ধরা যাক মূল সংখ্যা ক = ১০৭। তাহলে (ক-২) = ১০৫। এই সংখ্যাটি ২১ দিয়ে বিভাজ্য। (১০৫ / ২১) = ৫। আবার (১০৫ / ৭) = ১৫। সুতরাং মূল সংখ্যা ১০৭–কে ৭ দিয়ে ভাগ করার পর আগের মতোই অবশিষ্ট থাকবে ২।
এক নিমেষে সমাধান করা যায়—এমন আরেকটি মজার ধাঁধা দেখুন। প্রশ্ন করলাম, যদি একটি সংখ্যার ১০% = ৫০ হয়, তাহলে সেই সংখ্যার চার-পঞ্চমাংশ কত? এখানে একটু গোলমাল লাগতে পারে। কারণ, প্রশ্নের মধ্যে একবার শতাংশ, আরেকবার ভগ্নাংশের হিসাব করতে হবে। তাতে সমস্যা নেই। এর উত্তরের জন্য খুব বেশি ভাবতে হবে না। কারণ, ১০% = ৫০ হলে মূল সংখ্যাটি অর্থাৎ ১০০% নিশ্চয়ই এর ১০ গুণ। অর্থাৎ সংখ্যাটি (৫০ × ১০) = ৫০০। এবার এর চার–পঞ্চমাংশ বের করার জন্য প্রথমে ৫০০–কে ৫ ভাগ করে চার দিয়ে গুণ করি। অর্থাৎ (৫০০ / ৫) × ৪ = ১০০ × ৪ = ৪০০।

এ সপ্তাহের ধাঁধা
বলুন তো, একটি সংখ্যাকে ১২৫ দিয়ে ভাগ করলে যদি ৫২ অবশিষ্ট থাকে, তাহলে ৫২-এর বিপরীত সংখ্যা ২৫ দিয়ে ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকবে?
প্রথম দৃষ্টিতে কঠিন মনে হলেও আসলে সহজ। সামান্য চিন্তাই যথেষ্ট। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা [email protected] ই-মেইলে উত্তর পাঠিয়ে দিন। সঠিক উত্তর জানার জন্য দেখুন আগামী রোববার অনলাইনে।

গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: বলুন তো, যদি (ক + খ) = ৩ হয়, তাহলে (ক^৪ + খ^৪) = কত?

উত্তর
এর অন্তত দুটি সহজ উত্তর রয়েছে। যেমন, উত্তর হতে পারে ৮১ বা ১৭।
প্রায় সবাই সঠিক উত্তর দিয়েছেন। তবে এখানে বলা দরকার যে গণিতের এই ধাঁধা গত রোববার অনলাইনে আপলোড করার সময় ফন্ট কনভার্টে সমস্যার কারণে ভুল ছাপা হয়েছিল। (ক^৪ + খ^৪)–এর জায়গায় ছাপা হয়েছিল (ক৪ + খ৪), যার কোনো অর্থই হয় না। সে জন্য অনেকে প্রথমে উত্তর দিতে চাননি। কিছুক্ষণ পরে অবশ্য আমাদের নজরে পড়েছে এবং ভুল সংশোধন করে আবার অনলাইনে আপলোড করা হয়েছে। আমাদের ভুলের জন্য দুঃখিত। তা সত্ত্বেও অনেকে সঠিক উত্তর দিয়েছেন। সবাইকে ধন্যবাদ।

কীভাবে উত্তর বের করলাম
যেহেতু অজানা রাশি দুটি, কিন্তু সমীকরণ একটি, তাই এর একাধিক উত্তর রয়েছে। খুব জটিল বীজগণিতের হিসাবে না গিয়ে সহজ হিসাবে যাই। ক ও খ-এর যোগফল ৩, তাই একটি ০ হলে অপরটি হবে (৩-০) = ৩। এখন, ধরে নিই ক = ০ ও খ = ৩। তাহলে (০^৪ + ৩^৪) = (০ + ৮১) = ৮১। যদি ক = ১ হয়, তাহলে খ = ২। সে ক্ষেত্রে (১^৪ + ২^৪) = ১ + ১৬ = ১৭। যদি ক = ২ হয়, তাহলে খ = ১, অথবা, যদি ক = ৩ হয়, তাহলে খ = ০। এই সংখ্যাগুলোর ক্ষেত্রে যোগফল আগেই পেয়ে গেছি।