শুরু হোক গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি

আসছে গণিত অলিম্পিয়াড ২০১৯। এর প্রস্তুতি হিসেবে বিভিন্ন সমস্যা ও সেগুলো সমাধানের কৌশল নিয়ে আলোচনা করা হলো।

সমস্যা সমাধানের যত কৌশল

গণিত অলিম্পিয়াডের সমস্যা আর আমাদের বইয়ের অনুশীলনীর মধ্যে মূল পার্থক্য হলো বইয়ের অনুশীলনী সমাধানের উপায়গুলো আমাদের আগে থেকেই জানা থাকে। আর সমস্যা সমাধানের জন্য আমাদের সেই উপায়টা প্রয়োগ করতে হয়। তবে গণিত অলিম্পিয়াডের অধিকাংশ সমস্যাই একাধিক ধাপের। তাই সমস্যা সমাধানের শুরুতেই কিছু পরিকল্পনা নিয়ে এগোতে হয়। একেকজনের ক্ষেত্রে সমস্যা সমাধানের ধাপগুলো একেক রকমের হতে পারে। তবে সাধারণভাবে সমস্যা সমাধানের জন্য চারটা ধাপ অনুসরণ করা যেতে পারে:

১. সমস্যাটি ঠিকমতো বুঝতে পারা: প্রথমেই সমস্যাটি ভালো করে বুঝতে হবে। কারণ, সমস্যাটির মধ্যেই সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সব তথ্য আছে। তাই সমস্যাটি বারবার পড়তে হবে ও সমস্যাটির সব অংশ সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা নিতে হবে।

২. সমস্যাটি নিয়ে কাজ করা: সমস্যা পাওয়ার পর প্রথমেই দেখতে হবে, কোন পদ্ধতি বা সূত্র ব্যবহার করলে সমস্যাটি সমাধান করা যাবে বা কীভাবে এগোলে সমস্যাটি সমাধান হতে পারে। তাই সমস্যার তথ্যগুলো বিভিন্ন মান ব্যবহার করে দেখা যেতে পারে। অনেক সময়, বিশেষত জ্যামিতির ক্ষেত্রে ভালো করে একটি চিত্র আঁঁকলে সমস্যা সমাধান করা সহজ হয়। বলে রাখা ভালো, শুরুতে সহজে নাও বোঝা যেতে পারে কীভাবে কাজ করলে সমাধান হবে। তাই তোমার জানা সব কৌশল ব্যবহার করে দেখতে হবে কোন কৌশল কাজে লাগে।

৩. সঠিকভাবে পরিকল্পনা করা: সমস্যাটি সমাধানের জন্য সঠিকভাবে পরিকল্পনা করতে হবে। এভাবে ধাপে ধাপে সমস্যাটি সমাধান করতে হবে।

৪. সমাধান সঠিকভাবে লেখা ও পরীক্ষা করা: সমস্যার সমাধান সঠিকভাবে লিখতে পারাও সমাধানের বড় অংশ। তাই সঠিকভাবে সমাধানটি উপস্থাপন করতে হবে। প্রাপ্ত ফলাফলটি সঠিক কি না পরীক্ষা করতে হবে।

গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতির জন্য নিয়মিত অনুশীলন ও লেখাপড়ার বিকল্প নেই। প্রস্তুতির সবচেয়ে ভালো উপায় হলো বিগত বছরের সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করা। তাহলে সমস্যার ধরন সম্পর্কে স্পষ্ট ধারণা পাওয়া যাবে।

এ সংখ্যায় থাকছে প্রাইমারি ক্যাটাগরির প্রশ্ন সম্পর্কে আলোচনা ও সমস্যার সমাধান। সঙ্গে সঙ্গে প্রস্তুতির জন্য সহায়ক বইয়ের তালিকা। পরের সংখ্যায় জুনিয়র এবং সেকেন্ডারি ও হায়ার সেকেন্ডারি ক্যাটাগরির সমস্যা ও সমাধান নিয়ে আলোচনা করা হবে।

প্রাইমারি

প্রাইমারি বিভাগে পাটিগণিত, সংখ্যাতত্ত্ব, বীজগণিত, জ্যামিতি জানতে হবে। পাশাপাশি কিছু ধাঁধাজাতীয় সমস্যা ও ধারার সমস্যাও সমাধান করতে হয়। পাঠ্যবইয়ের পাশাপাশি (১), (২) নম্বর বই থেকে অনুশীলন করা যেতে পারে। এখানে জাতীয় গণিত অলিম্পিয়াডের কয়েকটি সমস্যার সমাধান দেখানো হলো:

সমস্যা: প্রমাণ করো যে ২ থেকে বড় দুটি মৌলিক সংখ্যার পার্থক্য ২ ভিন্ন অন্য কোনো মৌলিক সংখ্যা হতে পারে না।

সমাধান: যেহেতু ২ থেকে বড় মৌলিক সংখ্যা, তাই তারা বিজোড়। আমরা জানি, দুটি বিজোড় সংখ্যার পার্থক্য সব সময় জোড় সংখ্যা হয়। তাই যদি দুটি মৌলিক সংখ্যার পার্থক্য মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে তা জোড় মৌলিক সংখ্যা হবে, অর্থাত্ ২ হবে।

পরিশেষ

অলিম্পিয়াডে বিভিন্ন ক্যাটাগরির প্রস্তুতির জন্য কোনো নির্দিষ্ট সিলেবাস নেই। তবে সবার আগে পাঠ্যবইয়ের ওপর ভালো দখল থাকতে হবে। কারণ, অলিম্পিয়াডের প্রশ্ন এমনভাবে করা হয়, যাতে অধিকাংশ সমস্যার সমাধান পাঠ্যবইয়ে দেওয়া বিভিন্ন ধারণার ওপর ভিত্তি করেই করা যায়। তবে যেকোনো ধরনের সমস্যাই আসতে পারে। এ ক্ষেত্রে কিছু বেশি কৌশল জানা থাকলে তা অবশ্যই সমস্যা সমাধানের জন্য সহায়ক হবে। তবে, সেকেন্ডারি ও হায়ার সেকেন্ডারির জন্য পাঠ্যবইয়ের জ্ঞান সব সময় যথেষ্ট নয়। কারণ, কম্বিনেটরিক্স বা সংখ্যাতত্ত্বের মতো বিষয়গুলো আমাদের স্কুল-কলেজে সেভাবে শেখানো হয় না। এসব বিষয়ে অসংখ্য ইংরেজি বই আছে। তাই ভালো করতে হলে এসব বই পড়ার অভ্যাস গড়ে তুলতে হবে।

সমস্যার সমাধান কেমন করে করতে হয়, তা শেখার একমাত্র উপায় প্রচুর সমস্যা সমাধান করা। তাই জাতীয় অলিম্পিয়াডে ভালো করতে হলে সারা বছর প্রস্তুতি নিতে হবে। তবে শেষ মুহূর্তের প্রস্তুতি হিসেবে বিগত বছরের সমস্যা সমাধানের পাশাপাশি তালিকার বইগুলো থেকে সমস্যা অনুশীলন এবং বিভিন্ন কলাকৌশল শেখা যেতে পারে। সবার জন্য শুভকামনা।

কিছু দরকারি ওয়েবসাইট

www.matholympiad.org.bd

www.matholympiad.org.bd/forum

www.kmcbd.org/Home/documents

বইয়ের তালিকা

১. গণিত এবং আরও গণিত: মুহম্মদ জাফর ইকবাল ও জাকারিয়া স্বপন

২. আমাদের গণিত উত্সব: মুনির হাসান

৩. The Art and Craft of Problem Solving: Paul Zeitz

৪. Problem Solving Strategies: Arthur Engel

৫. 500 Mathematical Challenges

৬. 104 Number Theory Problems

৭. Geometry Revisited (বাংলা অনুবাদ: জ্যামিতির দ্বিতীয় পাঠ)

লেখক: আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াডে ব্রোঞ্জ পদকজয়ী, হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয় থেকে স্নাতক।

শুরুহোকগণিতঅলিম্পিয়াডেরপ্রস্তুতি

তারিকআদনান

আসছেগণিতঅলিম্পিয়াড২০১৯।এরপ্রস্তুতিহিসেবেবিভিন্নসমস্যাওসেগুলোসমাধানেরকৌশলনিয়েআলোচনাকরাহলো।

সমস্যাসমাধানেরযতকৌশল

গণিতঅলিম্পিয়াডেরসমস্যাআরআমাদেরবইয়েরঅনুশীলনীরমধ্যেমূলপার্থক্যহলোবইয়েরঅনুশীলনীসমাধানেরউপায়গুলোআমাদেরআগেথেকেইজানাথাকে।আরসমস্যাসমাধানেরজন্যআমাদেরসেইউপায়টাপ্রয়োগকরতেহয়।তবেগণিতঅলিম্পিয়াডেরঅধিকাংশসমস্যাইএকাধিকধাপের।তাইসমস্যাসমাধানেরশুরুতেইকিছুপরিকল্পনানিয়েএগোতেহয়।একেকজনেরক্ষেত্রেসমস্যাসমাধানেরধাপগুলোএকেকরকমেরহতেপারে।তবেসাধারণভাবেসমস্যাসমাধানেরজন্যচারটাধাপঅনুসরণকরাযেতেপারে:

১. সমস্যাটিঠিকমতোবুঝতেপারা: প্রথমেইসমস্যাটিভালোকরেবুঝতেহবে।কারণ, সমস্যাটিরমধ্যেইসমাধানেরজন্যপ্রয়োজনীয়সবতথ্যআছে।তাইসমস্যাটিবারবারপড়তেহবেওসমস্যাটিরসবঅংশসম্পর্কেপরিষ্কারধারণানিতেহবে।

২. সমস্যাটিনিয়েকাজকরা: সমস্যাপাওয়ারপরপ্রথমেইদেখতেহবে, কোনপদ্ধতিবাসূত্রব্যবহারকরলেসমস্যাটিসমাধানকরাযাবেবাকীভাবেএগোলেসমস্যাটিসমাধানহতেপারে।তাইসমস্যারতথ্যগুলোবিভিন্নমানব্যবহারকরেদেখাযেতেপারে।অনেকসময়, বিশেষতজ্যামিতিরক্ষেত্রেভালোকরেএকটিচিত্রআঁঁকলেসমস্যাসমাধানকরাসহজহয়।বলেরাখাভালো, শুরুতেসহজেনাওবোঝাযেতেপারেকীভাবেকাজকরলেসমাধানহবে।তাইতোমারজানাসবকৌশলব্যবহারকরেদেখতেহবেকোনকৌশলকাজেলাগে।

৩. সঠিকভাবেপরিকল্পনাকরা: সমস্যাটিসমাধানেরজন্যসঠিকভাবেপরিকল্পনাকরতেহবে।এভাবেধাপেধাপেসমস্যাটিসমাধানকরতেহবে।

৪. সমাধানসঠিকভাবেলেখাওপরীক্ষাকরা: সমস্যারসমাধানসঠিকভাবেলিখতেপারাওসমাধানেরবড়অংশ।তাইসঠিকভাবেসমাধানটিউপস্থাপনকরতেহবে।প্রাপ্তফলাফলটিসঠিককিনাপরীক্ষাকরতেহবে।

গণিতঅলিম্পিয়াডেরপ্রস্তুতিরজন্যনিয়মিতঅনুশীলনওলেখাপড়ারবিকল্পনেই।প্রস্তুতিরসবচেয়েভালোউপায়হলোবিগতবছরেরসমস্যাসমাধানেরচেষ্টাকরা।তাহলেসমস্যারধরনসম্পর্কেস্পষ্টধারণাপাওয়াযাবে।

এসংখ্যায়থাকছেপ্রাইমারিক্যাটাগরিরপ্রশ্নসম্পর্কেআলোচনাওসমস্যারসমাধান।সঙ্গেসঙ্গেপ্রস্তুতিরজন্যসহায়কবইয়েরতালিকা।পরেরসংখ্যায়জুনিয়রএবংসেকেন্ডারিওহায়ারসেকেন্ডারিক্যাটাগরিরসমস্যাওসমাধাননিয়েআলোচনাকরাহবে।

প্রাইমারি

প্রাইমারিবিভাগেপাটিগণিত, সংখ্যাতত্ত্ব, বীজগণিত, জ্যামিতিজানতেহবে।পাশাপাশিকিছুধাঁধাজাতীয়সমস্যাওধারারসমস্যাওসমাধানকরতেহয়।পাঠ্যবইয়েরপাশাপাশি (১), (২) নম্বরবইথেকেঅনুশীলনকরাযেতেপারে।এখানেজাতীয়গণিতঅলিম্পিয়াডেরকয়েকটিসমস্যারসমাধানদেখানোহলো:

সমস্যা: প্রমাণকরোযে২থেকেবড়দুটিমৌলিকসংখ্যারপার্থক্য২ভিন্নঅন্যকোনোমৌলিকসংখ্যাহতেপারেনা।

সমাধান: যেহেতু২থেকেবড়মৌলিকসংখ্যা, তাইতারাবিজোড়।আমরাজানি, দুটিবিজোড়সংখ্যারপার্থক্যসবসময়জোড়সংখ্যাহয়।তাইযদিদুটিমৌলিকসংখ্যারপার্থক্যমৌলিকসংখ্যাহয়, তবেতাজোড়মৌলিকসংখ্যাহবে, অর্থাত্২হবে।

পরিশেষ

অলিম্পিয়াডেবিভিন্নক্যাটাগরিরপ্রস্তুতিরজন্যকোনোনির্দিষ্টসিলেবাসনেই।তবেসবারআগেপাঠ্যবইয়েরওপরভালোদখলথাকতেহবে।কারণ, অলিম্পিয়াডেরপ্রশ্নএমনভাবেকরাহয়, যাতেঅধিকাংশসমস্যারসমাধানপাঠ্যবইয়েদেওয়াবিভিন্নধারণারওপরভিত্তিকরেইকরাযায়।তবেযেকোনোধরনেরসমস্যাইআসতেপারে।এক্ষেত্রেকিছুবেশিকৌশলজানাথাকলেতাঅবশ্যইসমস্যাসমাধানেরজন্যসহায়কহবে।তবে, সেকেন্ডারিওহায়ারসেকেন্ডারিরজন্যপাঠ্যবইয়েরজ্ঞানসবসময়যথেষ্টনয়।কারণ, কম্বিনেটরিক্সবাসংখ্যাতত্ত্বেরমতোবিষয়গুলোআমাদেরস্কুল-কলেজেসেভাবেশেখানোহয়না।এসববিষয়েঅসংখ্যইংরেজিবইআছে।তাইভালোকরতেহলেএসববইপড়ারঅভ্যাসগড়েতুলতেহবে।

সমস্যারসমাধানকেমনকরেকরতেহয়, তাশেখারএকমাত্রউপায়প্রচুরসমস্যাসমাধানকরা।তাইজাতীয়অলিম্পিয়াডেভালোকরতেহলেসারাবছরপ্রস্তুতিনিতেহবে।তবেশেষমুহূর্তেরপ্রস্তুতিহিসেবেবিগতবছরেরসমস্যাসমাধানেরপাশাপাশিতালিকারবইগুলোথেকেসমস্যাঅনুশীলনএবংবিভিন্নকলাকৌশলশেখাযেতেপারে।সবারজন্যশুভকামনা।

লেখক: আন্তর্জাতিকগণিতঅলিম্পিয়াডেব্রোঞ্জপদকজয়ী, হার্ভার্ডবিশ্ববিদ্যালয়থেকেস্নাতক।