default-image

ধরুন আপনাকে প্রশ্ন করলাম, কোনো খাতা কলম বা ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করে ১০ সেকেন্ডের মধ্যে বলুনতো ১ থেকে ১০০০ এর মধ্যে তিন অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা আছে? গণিতের এ ধরনের কিছু সমস্যা শুনলে মনে হয়, ওরে বাবা, এত বড় হিসাব এত কম সময়ে কীভাবে করব! এ তো অসম্ভব। কিন্তু একটু ভাবুন। ধরা যাক তিন সেকেন্ড। এরই মধ্যে ধরে ফেললেন, আরে এ তো পানির মতো সহজ! কারণ ১০০০ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে তিন অঙ্কের সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি ৯৯৯।১০০০ সংখ্যাটি বাদ যাবে, কারণ ওটা ৪ অঙ্কের সংখ্যা। আর তিন অঙ্কের সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি ১০০। কারণ ১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো সব ১ বা ২ অঙ্কের। তাই ওগুলো আমাদের হিসাবে বাদ যাবে। এখন সমস্যাটা খুব সহজ হয়ে গেল। দু–চার সেকেন্ডের ব্যাপার। ৯৯৯ থেকে ৯৯ বিয়োগ করলেই উত্তর পেয়ে যাব। (৯৯৯ – ৯৯) = ৯০০। অর্থাৎ ১ থেকে ১০০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে তিন অঙ্কের সংখ্যা আছে ৯০০ টি।

আবার অন্যভাবেও আমরা হিসাবটা করতে পারি। যেমন, ৩ অঙ্কের সংখ্যাগুলোর প্রথম (অর্থাৎ তৃতীয় অবস্থানের) অঙ্কটি ১ থেকে ৯ পর্যন্ত নয়টি অঙ্কের যেকোনোটি হতে পারে।এর প্রতিটি অঙ্কের পরের ঘরে ০ থেকে ৯, মোট ১০টি অঙ্কের যেকোনো একটি থাকতে পারে। অর্থাৎ তিন অঙ্কের সংখ্যাগুলোর প্রথম দুটি অঙ্ক হতে পারে (৯×১০) = ৯০ ধরনের। এবং এই ৯০ ধরনের প্রতিটির ক্ষেত্রে তৃতীয় অঙ্কটি হতে পারে ০ থেকে ৯ পর্যন্ত দশটি অঙ্কের যেকোনো একটি।সুতরাং তিন অঙ্কের মোট সংখ্যা হবে (৯০×১০) = ৯০০ টি। যুক্তি দিয়ে মনে মনে হিসাব করে উত্তর বের করতে ১০ সেকেন্ডর বেশি সময় লাগার কথা নয়।

মনে মনে হিসাব করে চট করে উত্তর বের করার মতো গণিতের আরেকটি সমস্যা দেখুন। প্রশ্ন করলাম, দুটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার সমষ্টি যদি ২১৪ হয়, তাহলে সংখ্যা দুটি কত? খুব সহজ। প্রথমে সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে ভাগ করি। (২১৪÷২) = ১০৭। এখন বলতে পারি ক্রমিক জোড় সংখ্যা দুটি ১০৭–এর ১ ছোট ও ১ বড় হবে। অর্থাৎ ক্রমিক জোড় সংখ্যা দুটি হবে যথাক্রম (১০৭ – ১) = ১০৬ এবং (১০৭ + ১) = ১০৮। মিলিয়ে দেখুন, ( ১০৬ + ১০৮) = ২১৪।

বীজগণিত ব্যবহার করেও আমরা সহজে উত্তর বের করতে পারি। মনে করি ‘ক’ যেকোনো একটি সংখ্যা। তাহলে ক্রমিক জোড় সংখ্যা দুটি হবে (২ক) ও (২ক + ২)। এদের যোগফল = (২ক + ২ক + ২) = (৪ক + ২) = ২১৪। সুতরাং ৪ক = (২১৪ – ২) = ২১২। অর্থাৎ, ক = (২১২/৪) = ৫৩। এখন আমরা বলতে পারি জোড় সংখ্যা দুটি ২ক = ৫৩×২ = ১০৬ এবং (২ক + ২) = (১০৬ + ২) = ১০৮।

এ সপ্তাহের ধাঁধা

একটি সংখ্যার দুই তৃতীয়াংশকে এক–তৃতীয়াংশ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল যদি ৬ হয়, তাহলে মূল সংখ্যাটি কত?
খুব সহজ। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা quayum@gmail.com ই–মেইলে আপনাদের উত্তর পাঠিয়ে দিন। সঠিক উত্তর দেখুন আগামী রোববার অনলাইনে।
গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: একটি সংখ্যাকে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ১ অবশিষ্ট থাকে এবং ৬ দিয়ে ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে ২। এখন বলুন তো এ রকম ন্যূনতম সংখ্যাটি কত?
উত্তর:
সংখ্যাটি ২৬। একে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ১ ও ৬ দিয়ে ভাগ করলে ২ অবশিষ্ট থাকে।

কীভাবে উত্তর বের করলাম

এ সমস্যার সমাধানের জন্য আমরা বীজগণিতের আশ্রয় নেব। মনে করি নির্ণেয় সংখ্যাটি ‘ক’। এটি এমন একটি সংখ্যা যেখানে ক = (৫খ +১) এবং (৬খ + ২) হিসাবে প্রকাশ করা যায়।তাহলে (ক + ৪) সংখ্যাটি ৫ ও ৬ উভয় সংখ্যারই গুণিতক (মাল্টিপল)। অর্থাৎ ক–এর সঙ্গে ৪ যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি ৫ এবং ৬–উভয় সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। কারণ (ক + ৪) = (৫খ + ৫) = (৬খ + ৬) এবং সে কারণে শেষোক্ত সংখ্যা দুটি ৫ ও ৬ উভয় সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। এখন যেহেতু ৫ ও ৬ এর ল. সা. গু. ৩০, সুতরাং আমরা বলতে পারি (ক + ৪) সংখ্যাটিকে (৩০×খ) রূপে প্রকাশ করা যায়।ন্যূতম সংখ্যাটি পাওয়ার জন্য আমরা খ=১ ধরি। তাহলে (ক + ৪) = ৩০। সুতরাং নির্ণেয় সংখ্যা, ক = (৩০–৪) = ২৬। মিলিয়ে দেখি, ২৬ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ১ ওবং ৬ দিয়ে ভাগ ২ অবশিষ্ট থাকে।

খ–এর মান ২ ধরলে সংখ্যাটি হবে (৩০×২ – ৪) = ৫৬, যাকে ৫ দিয়ে ভাগ করলে সেই ১ এবং ৬ দিয়ে ভাগ করলে ২ অবশিষ্ট থাকে।এ ভাবে আরও উত্তর বের করা যায়। কিন্তু ন্যূনতমটি ২৬। এখানে একটি কথা বলা দরকার।সাধারণত আমরা যখন ‘কোনো একটি’ সংখ্যার কথা বলি, তখন সাধারণত ধনাত্মক সংখ্যাই বোঝাই। ঋণাত্মক সংখ্যা ধরলে অবশ্য ২৬–এর চেয়েও ছোট সংখ্যা পাওয়া যাবে।

আব্দুল কাইয়ুম, সম্পাদক, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তা

বিজ্ঞাপন
মন্তব্য পড়ুন 0