বলুন তো পূর্ণ বর্গ সংখ্যা দুটি কত?

আমাদের আজকের মূল সমস্যা পূর্ণ বর্গ সংখ্যা নিয়ে। তবে তার আগে আসুন গণিতের দুটি মজার প্রশ্ন সমাধানের কৌশল জেনে নিই। এটা অনেকটা যুক্তির ভিত্তিতে গণিতের হিসাব কাজে লাগানোর বিষয়। যদি আমরা বলি (৫৫ × ৫৫) = ১০০, (৬৬ × ৬৬) = ১৪৪, (৭৭ × ৭৭) = ১৯৬, (৮৮ × ৮৮) = ২৫৬ হয়, তাহলে (৯৯ × ৯৯) = ?

প্রথমেই বলে রাখি, এটা একটি কল্পিত সমস্যা। আসলে (৫৫ × ৫৫) = ৩০২৫, ১০০ তো কখনো হতে পারে না। কিন্তু একটি ছন্দের আকারে সাজানোর জন্য এভাবে লেখা হয়েছে। সে জন্যই প্রথমে বলে নিয়েছি, ‘যদি...হয়’।

এখন বলতে হবে, যদি প্রথম সমীকরণগুলো শুদ্ধ বলে ধরে নেওয়া হয়, তাহলে শেষ গুণফলটি কত হবে? এর উত্তরের জন্য আমরা প্রথমে প্রদত্ত সিরিজের কয়েকটি রাশি দেখে এর ভেতরের মিলগুলো বের করি। প্রতিটি রাশির মধ্যে একটি মিল রয়েছে। দেখা যাচ্ছে, প্রতিটি রাশির প্রথম সংখ্যাগুলো দুই অঙ্কের এবং একই অঙ্ক দুবার করে লেখা। এই দুটি অঙ্কের যোগফলের বর্গ সংখ্যাটিকেই পুরো সংখ্যাটির বর্গফল হিসেবে দেখানো হয়েছে। যেমন: (৫৫ × ৫৫) = (৫ + ৫)^২ = (১০)^২ = ১০০। এখন আমরা মূল সমস্যার উত্তর বের করতে পারি। (৯৯ × ৯৯) = (৯ + ৯)^২ = (১৮)^২ = ৩২৪।

আরেকটি মজার হিসাব দেখুন। (১১/৫) + (১২/৫) + (১৩/৫) + (১৪/৫) + (১৫/৫) =? এই ধারাটির যোগফল সহজে বের করার উপায় কী? এর উত্তরের জন্য আমরা প্রথমে দেখব, ১১ থেকে ১৫ পর্যন্ত ধারাবাহিক পাঁচটি সংখ্যার প্রতিটি ৫ দিয়ে ভাগ করে যোগ করা হয়েছে। সুতরাং এই সিরিজটিকে আমরা লিখতে পারি (১১ + ১২ + ১৩ + ১৪ + ১৫)/৫ = {(১১ +১৫) × ৫/২} / ৫ = {(২৬ × ৫) /২}/৫ = (১৩০/২)/৫ = (৬৫/৫) = ১৩।

এ সপ্তাহের ধাঁধা: একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা থেকে ৪৫ বিয়োগ করলে বিয়োগফল আরেকটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হয়। এখন বলুন তো পূর্ণ বর্গ সংখ্যা দুটি কত?

গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: একটি টেবিলের চারপাশে চারজন করে বসতে পারেন। ৩০ জন বন্ধুর বসার জন্য একটি টেবিলের সঙ্গে আরেকটি টেবিল পরপর সাজিয়ে লম্বা একটি টেবিলে বসার আয়োজন করা হলো। এখন বলুন তো মোট কতটি টেবিল লাগবে?

উত্তর : ১৪টি টেবিল লাগবে। অবশ্য যদি আপনি নিজেকে ৩০ জন বন্ধুর বাইরে আরও একজন হিসাবে বিবেচনা করেন, তাহলে ১৫টি টেবিল লাগবে।

অনেক উত্সাহী পাঠক উত্তর দিয়েছেন। অনেক উত্তর এসেছে আমার ই-মেইল ঠিকানায়। তাঁদের প্রায় সবার উত্তরই সঠিক। সবাইকে ধন্যবাদ।

কীভাবে উত্তর বের করলাম
প্রথমে হিসাব করলাম, দুপাশের দুই কিনারের টেবিলে তিনজন করে মোট ছয়জন বসবে। বাকি থাকল (৩০ - ৬) = ২৪ জন। মাঝখানের টেবিলগুলোর প্রতিটির এপাশ-ওপাশে দুজন করে বসতে পারে। তাই বাকি ২৪ জনের জন্য দরকার ১২টি টেবিল। সুতরাং মোট টেবিলের সংখ্যা (২ + ১২) = ১৪। এই উত্তরটা বের করার জন্য আমরা একটি সূত্র ব্যবহার করে যেকোনোসংখ্যক বন্ধুর জন্য টেবিলের সংখ্যা বের করতে পারি। (মোট টেবিলের সংখ্যা - ২) = (বন্ধুর সংখ্যা - ৬) / ২। অথবা, (বন্ধুর সংখ্যা - ৬) / ২ হিসাব থেকে প্রাপ্ত সংখ্যার সঙ্গে ২ যোগ করলেই টেবিলের সংখ্যা পাওয়া যাবে। আমাদের সমস্যার ক্ষেত্রে, টেবিলের সংখ্যা = {(৩০ - ৬)/২} + ২ = (১২ + ২) = ১৪।