ধারাবাহিক পূর্ণবর্গ সংখ্যা দুটি কত?

পূর্ণবর্গ সংখ্যা নিয়ে অনেক মজার ধাঁধা আছে। যেমন: কেউ যদি প্রশ্ন করে, এমন কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা আছে কি, যা একইসঙ্গে পূর্ণঘন সংখ্যাও বটে? এর উত্তর অবশ্য আমরা সবাই জানি। উত্তর ৬৪। ৬৪ = (৮) = (৪)। কিন্তু যদি প্রশ্ন করি, এমন একটি সংখ্যা বের করুন, যা একইসঙ্গে পূর্ণবর্গ ও পূর্ণঘন শুধু নয়, এর বর্গমূলটি পূর্ণঘন এবং ঘনমূলটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা? একটু কঠিন ধাঁধা। এর উত্তর হলো ৪০৯৬। এর বর্গমূল = ৬৪, যা একটি পূর্ণ ঘনসংখ্যা। ঘনমূল ৪। আবার ৪০৯৬–এর ঘনমূল = ১৬, যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা, বর্গমূল ৪। তাই ৪০৯৬ সংখ্যাটি খুব বৈশিষ্ট্যপূর্ণ।


সংখ্যা নিয়ে আরেকটি মজার হিসাব দেখুন। তিনটি ক্রমিক অঙ্কের এমন একটি সংখ্যা বের করতে হবে, যা একই সঙ্গে ৩ ও ৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। এর অঙ্কগুলোর প্রতিটি আগের অঙ্কের চেয়ে ১ করে বেশি এবং যার শতকের ঘরের অঙ্কটি দশকের ঘরের অঙ্কের চেয়ে ছোট এবং দশকের ঘরের অঙ্কটি এককের ঘরের অঙ্কের চেয়ে ছোট। সংখ্যাটি কত? উত্তর ২৩৪। যেহতু (২ + ৩ + ৪) = ৯, তাই সংখ্যাটি ৩ ও ৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। এবং অন্য দুটি শর্ত এই সংখ্যার ক্ষেত্রে মিলে যায়।

এ সপ্তাহের ধাঁধা
আমরা জানি, (৩)+ (৪)= ২৫ = (৫)। লক্ষ্যণীয়, ৩ ও ৪ দুটি ক্রমিক সংখ্যা। এ রকম পরবর্তী দুটি ক্রমিক সংখ্যা বের করুন তো যাদের বর্গের যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা?


খুব সহজ না হলেও চেষ্টা করলে উত্তর বের করতে পারেন। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা [email protected] ই–মেইলে উত্তর পাঠিয়ে দিন। পরের রোববার সঠিক উত্তর ছাপা হবে।


গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: একটি সংখ্যার দুটি উৎপাদকের একটির ১০ গুণ অপরটি। সংখ্যাটি ১৪৪০ হলে উৎপাদক দুটি কত?

উত্তর
উৎপাদক দুটি ১২ ও ১২০। ১২০ হলো ১২–এর ১০ গুণ এবং (১২ × ১২০) = ১৪৪০।

এবারের গণিতের সমস্যাটি বেশ সহজ ছিল। প্রায় সবাই সঠিক উত্তর দিয়েছেন। ধন্যবাদ।


কীভাবে উত্তর বের করলাম
প্রথমে ১৪৪০–এর সব কটি উৎপাদক বের করি। ১৪৪০ = (২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫)
এখন উৎপাদকগুলোকে এমন দুই ভাগে ভাগ করি যেন একটি অপরটির ১০ গুণ হয়। আমরা দেখছি, ১৪৪০ = (২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫) = (২ × ২ × ৩) (২ × ২ × ২ × ৩ × ৫) = (১২) × (১২০)। ১২–এর ১০ গুণ = ১২০।


আবার বীজগণিতের নিয়ম ব্যবহার করেও উত্তর বের করতে পারি। মনে করি, একটি উৎপাদক ‘ক’। তাহলে অপর উৎপাদক (১০ক)। শর্ত অনুযায়ী ক × (১০ক) = ১০ক২ = ১৪৪০। অথবা ক = ১৪৪। সুতরাং, ক = ১২। তাই একটি উৎপাদক =১২। অপরটি = ১২ × ১০ = ১২০। উৎপাদক দুটি ১২ ও ১২০।

আব্দুল কাইয়ুম, সম্পাদক, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তা