কয়টি সংখ্যা?

যদি প্রশ্ন করা হয়, দুই অঙ্কের কতটি সংখ্যা ২ দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু ৭ দিয়ে বিভাজ্য নয়? এর উত্তর বের করার সহজ উপায় হলো, প্রথমে দেখা দুই অঙ্কের কয়টি সংখ্যা ৭ দিয়ে বিভাজ্য। তারপর দেখতে হবে এই সংখ্যগুলোর মধ্যে কয়টি জোড় সংখ্যা, কারণ জোড় সংখ্যা গুলোই ২ দিয়ে বিভাজ্য। আমরা ছোটবেলায় নামতা শিখেছি। সেই বিদ্যা এখানে লাগাতে পারি। ৭ দিয়ে বিভাজ্য দুই অঙ্কের সংখ্যাগুলো হলো ১৪, ২১, ২৮, ৩৫, ৪২, ৪৯, ৫৬, ৬৩, ৭০, ৭৭, ৮৪, ৯১ ও ৯৮। এগুলোর মধ্যে ১৪, ২৮, ৪২, ৫৬, ৭০, ৮৪ ও ৯৮—এই সাতটি জোড়সংখ্যা। সুতরাং আমরা বলতে পারি, দুই অঙ্কের মোট যতটি জোড় সংখ্যা আছে, তার চেয়ে ৭টি কম সংখ্যাই আমাদের উত্তর। ১০ থেকে ৯৮ পর্যন্ত দুই অঙ্কের মোট জোড় সংখ্যা আছে (৯ × ৫) = ৪৫টি। সুতরাং ২ দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু ৭ দিয়ে বিভাজ্য নয়—এমন সংখ্যা আছে (৪৫ – ৭) = ৩৮টি।

আরেকটি মজার ধাঁধা দেখুন। মধ্যরাতে খুব বৃষ্টি হচ্ছে। আপনাকে প্রশ্ন করলাম ৪৮ ঘন্টা পর রৌদ্রোজ্জ্বল পরিবেশের সম্ভাবনা কত? এর উত্তর দেওয়া কি সম্ভব? আমি বলব খুবই সম্ভব। কারণ, ৪৮ ঘন্টা পর সময়টা হবে মধ্যরাত। সুতরাং সেই সময় রৌদ্রোজ্জ্বল পরিবেশের কোনো সম্ভাবনা নেই।

এ সপ্তাহের ধাঁধা
বলুন তো, তিন অঙ্কের এমন সংখ্যা কয়টি, যাদের অঙ্ক তিনটির যোগফল ৫?
খুব সহজ। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা ([email protected] ই–মেইলে আপনাদের উত্তর পাঠিয়ে দিন। সঠিক উত্তর দেখুন আগামী রোববার অনলাইনে।

গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: শূন্য থেকে ৯ পর্যন্ত ১০টি অঙ্কের যেকোনো দুটি অঙ্ক দিয়ে একটি সংখ্যা গঠন করলাম। এবার অঙ্ক দুটির অবস্থান উল্টিয়ে বিপরীতক্রমে সাজিয়ে আরেকটি নতুন সংখ্যা গঠন করলাম। এই দুটি সংখ্যার বিয়োগফল যদি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হয়, তাহলে অঙ্ক দুটির বিয়োগফল কত? এবং অঙ্ক দুটি কত?

উত্তর
এর একাধিক উত্তর। সহজ একটি উত্তর হলো অঙ্ক দুটির বিয়োগফল = ৯ এবং অঙ্ক দুটি ৯ ও ০।

কীভাবে উত্তর বের করলাম
প্রথমে ধরে নিই অঙ্ক দুটি ক ও খ। তাহলে সংখ্যা দুটি হবে (কখ) এবং (খক)। এদের মান হবে যথাক্রমে (১০ক + খ) এবং (১০খ + ক)। এই দুটি সংখ্যার বিয়োগফল = (৯ক – ৯খ) = ৯(ক –খ)। প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। তাই সংখ্যা দুটির বিয়োগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হওয়ার একটি উপায় হলো (ক – খ) = ৯ হওয়া। সে ক্ষেত্রে বিয়োগফল হবে ৯ × ৯ = ৮১, যা ৯-এর বর্গ। অর্থাৎ পূর্ণবর্গ সংখ্যা। এখন দেখা যাক অঙ্ক দুটি কত। বিয়োগফল ৯ হতে পারে একমাত্র যদি অঙ্ক দুটি ৯ ও ০ হয়। (৯ – ০) = ৯। মিলিয়ে দেখুন: অঙ্ক দুটি যেহেতু ৯ ও ০, সুতরাং সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৯০ ও বিপরীতক্রমে সাজিয়ে প্রাপ্ত সংখ্যাটি ০৯। এদের বিয়োগফল = (৯০ – ০৯) = ৮১ = (৯)‍ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
আরও অনেক সংখ্যা–জুটি উত্তর হতে পারে। যেমন: (১০, ০১), (৭৬, ৬৭), (৮৭, ৭৮), (৬২,২৬), (৯৫, ৫৯), ... ইত্যাদি। এদের প্রতিটির বিয়োগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা।