বলুন তো প্রতিষ্ঠালগ্নে স্কুলে ছাত্রসংখ্যা কত ছিল?

এবার ৯-এর আরও কয়েকটি চমকপ্রদ ব্যাপার দেখুন। দুই অঙ্কের যেকোনো একটি সংখ্যা লিখি। এবার একে উল্টিয়ে লিখে বড় সংখ্যাটি থেকে ছোট সংখ্যাটি বিয়োগ করি। এই বিয়োগফল সব সময় ৯-এর গুণিতক, অর্থাৎ ৯ দিয়ে বিভাজ্য হবে। যেমন (৬২ - ২৬) = ৩৬ = (৪ X ৯) । ৪৯-কে উল্টিয়ে লিখলে পাব ৯৪। এখন, (৯৪ - ৪৯) = ৪৫ = (৫ X ৯) । তিন অঙ্কের সংখ্যা নিয়ে হিসাব করে দেখি তো কী হয়! ধরা যাক ৭৫৩। এর উল্টা সংখ্যাটি ৩৫৭। বিয়োগফল = (৭৫৩ - ৩৫৭)  = ৩৯৬ = (৪৪ X ৯)। অথবা ৪৬৯ ও এর উল্টা সংখ্যা ৯৬৪। এদের বিয়োগফল (৯৬৪ - ৪৬৯) = ৪৯৫ = (৫৫ X ৯)।

এবার আপনারা ৪ অঙ্কের সংখ্যা নিয়ে হিসাব করে দেখুন তো কী হয়? মিলেছে কি না?
আরও খেলা আছে ৯-এর। ৯-এর সঙ্গে যেকোনো দুই অঙ্কের একটি সংখ্যা যোগ করুন। যোগফল দুই অঙ্কের মধ্যে যেন সীমিত থাকে। দেখুন কী মজা হয়। (৯ + ৭৩) = ৮২। এখানে (৭ + ৩) = ১০ = (৮ + ২)। (৯ + ৫৮) = ৬৭। এখানে (৮ + ৫) = ১৩ = (৬ + ৭)। দেখা যাচ্ছে, ৯-এর সঙ্গে দুই অঙ্কের যেকোনো সংখ্যা যোগ করলে ওই সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল সংখ্যা দুটির যোগফল হিসেবে প্রাপ্ত সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফলের সমান! তিন অঙ্কের সংখ্যা যোগ করলেও একই ফল পাব। যেমন, (৯ + ৮৬৪) = ৮৭৩। এখানে (৮ + ৬ + ৪) = ১৮ = (৮ + ৭ + ৩)। (৯ + ৫৭৯) = ৫৮৮। এখানে (৫ + ৭ + ৯) = ২১ = (৫ + ৮ + ৮)। এবার দেখুন তো চার অঙ্কের সংখ্যা যোগ করলে ৯-এর এই মজার ম্যাজিকটি খাটে কি না?
৯-এর এই সব ম্যাজিক বিস্তৃত জানার জন্য দেখুন ওয়েব পেজ http://www.eklavya.org/magic9-1.html

এ সপ্তাহের ধাঁধা

এক যুগ, মানে ১২ বছর আগে প্রতিষ্ঠিত একটি স্কুলের ছাত্রসংখ্যা এখন ১৯২০। যদি প্রতি তিন বছর পরপর ছাত্রসংখ্যা দ্বিগুণ হয়ে থাকে, তাহলে প্রতিষ্ঠালগ্নে ছাত্রসংখ্যা কত ছিল?
আপনার উত্তর আমার ই-মেইলে পাঠাতে পারেন। সঠিক উত্তর দেখুন আগামী রোববার এই অনলাইন কলামে।

গত রোববার প্রকাশিত ধাঁধার উত্তর

দেড়-দুই শ পাঠক ধাঁধার উত্তর দিয়েছেন। প্রায় সবার উত্তরই সঠিক। সবাইকে ধন্যবাদ। গণিতের প্রতি সবার এত আগ্রহ খুবই উৎসাহজনক।

গত সপ্তাহের ধাঁধাটি ছিল এ রকম: আমি কিছু আম কিনে প্রথম দিন এর এক-চতুর্থাংশ খেলাম। এর পরদিন অবশিষ্ট আমের এক-তৃতীয়াংশ খেলাম। তৃতীয় দিন অবশিষ্ট আমের অর্ধেক খেয়ে দেখি আর মাত্র ২টি আম আছে। এখন বলুন তো প্রথমে আমি কতটি আম কিনেছি?
উত্তর
মোট ৮টি আম কিনেছি।

কীভাবে উত্তর বের করলাম

মোট কেনা আমের এক-চতুর্থাংশ প্রথম দিন খেয়ে ফেলার পর থাকল তিন-চতুর্থাংশ আম। এর এক-তৃতীয়াংশ দ্বিতীয় দিন খাওয়ার পর থাকবে (৩/৪ - ১/৪) = ২/৪ = ১/২, অর্থাৎ কেনা আমের অর্ধেক থাকল। তৃতীয় দিন এই অর্ধেকের অর্ধেক খেয়ে ফেললে থাকবে কেনা আমের ১/৪ ভাগ। যেহেতু শেষ দিন অবশিষ্ট ছিল ২টি আম, তাই বলতে পারি, মোট কেনা আমের ১/৪ অংশ = ২। অর্থাৎ মোট কেনা আম ছিল (২ X ৪) = ৮টি।

অবশ্য বীজগণিত ব্যবহার করে আরও সহজে এর উত্তর বের করা যায়। যেমন মনে করি, কেনা আমের সংখ্যা ছিল ‘ক’। প্রথমে এর ১/৪ খাওয়ার পর থাকল (৩ক/৪)। পরদিন এর (১/৩) খেলে থাকবে (৩ক/৪ - ক/৪) = (২ক/৪) = (ক/২)টি আম। পরদিন এর অর্ধেক, অর্থাৎ (ক/৪)টি আম খেলাম। তাহলে অবশিষ্ট অর্ধেক (ক/৪) = ২। অর্থাৎ ক = ৮।

*আব্দুল কাইয়ুম: মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তার সম্পাদক
[email protected]