বলুন তো, কতটি আম কিনেছিলাম?

গণিতে অনেক মজার মজার হিসাব থাকে। রীতিমতো ম্যাজিক মনে হয়। যেমন আমরা ছোটবেলা থেকে জানি, ৯ একটি অঙ্ক বা ডিজিট মাত্র। মনে হয় এর মধ্যে আবার কী ম্যাজিক থাকতে পারে? হ্যাঁ, আছে। একে একে বলছি। কোনো সংখ্যার ডিজিটাল রুট বের করার একটি সহজ উপায় হলো ৯ ব্যবহার করা। ডিজিটাল রুট বলতে বোঝায় কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল বের করার পর সেই যোগফলের অঙ্কগুলোরও যোগফল বের করা এবং এইভাবে বারবার যোগ করে একক অঙ্ক পর্যন্ত যাওয়া। সেই একক অঙ্কটিই হলো ওই সংখ্যার ডিজিটাল রুট। যেমন ৮৭৪৯৫৩ এর ডিজিটাল রুট হলো ৯। কারণ, প্রথম যোগফল = ৩৬। এরপর আবার যোগ করি, (৩ +৬) = ৯। এই যোগফল সহজে বের করার জন্য আমরা প্রথমে সংখ্যাটির মধ্যে ৯ যতগুলো থাকে, তা কেটে দিই। এরপর সংখ্যাটির মধ্যে ৪ ও ৫ –এর যোগফল ৯, তাই এ দুটি অঙ্ক কেটে দিই। থাকল ৮, ৭ ও ৩, এদের যোগফল ১৮। এখানে ১ ও ৮ এর যোগফল ৯। সুতরাং ৯ ব্যবহার করে আমরা সহজেই ডিজিটাল রুট বের করতে পারি।

কখনো যদি ৯ কেটে কেটে শেষ পর্যন্ত আর কোনো অঙ্ক না থাকে, তাহলে ধরে নেব যোগফল ৯। অর্থাৎ যোগফল বের করার এই প্রক্রিয়ায় কোনো সংখ্যার ডিজিটাল রুট যদি ৯ বা ০ হয়, তাহলে পুরো সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল হবে ৯। মজার ব্যাপার হলো, কোনো সংখ্যার ডিজিটাল রুট যদি ৯ হয়, তাহলে পুরো সংখ্যাটি ৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। আমাদের সংখ্যাটির ডিজিটাল রুট যেহেতু ৯, তাই সংখ্যাটি ৯ দিয়ে বিভাজ্য। কোনো বড় সংখ্যা ৯ দিয়ে বিভাজ্য কি না, তা এভাবে এক নিমেষে বলে দেওয়া যায়। এখানে ৯–এর ব্যবহার গুরুত্বপূর্ণ।

আরেকটি মজার ব্যাপার দেখুন। আমরা ৯–এর নামতা জানি। ৯–কে যদি ১, ২, ৩, ... ১০ দিয়ে পর পর গুণ করে যাই, তাহলে পাব (৯ ১) = ৯ = ০৯, (৯×২) = ১৮, (৯×৩) = ২৭ ... (৯×৯) = ৮১ (৯×১০) = ৯০। লক্ষ করে দেখুন, প্রতিটি গুণফলের অঙ্কগুলোর যোগফল ৯।

আবার প্রাপ্ত সংখ্যাগুলোকে যদি উল্টো করে সারিবদ্ধ করি, তাহলে পাব প্রথমে ৯০, এরপর ৮১, ... ১৮, ০৯। এখন প্রথম সারির সংখ্যাগুলোর সঙ্গে দ্বিতীয় সারির সংখ্যাগুলো তুলনা করলে দেখব, প্রতিটি পদের উল্টো সংখ্যাটি দ্বিতীয় সারির প্রথম পদ। যেমন, ০৯ বরাবর এসে গেছে ৯০, ১৮ এর বরাবর ৮১ ইত্যাদি।

০৯ = (১×৯) ৯০ = (১০×৯)
১৮ = (২×৯) ৮১ = (৯×৯)
২৭ = (৩×৯) ৭২ = (৮×৯)
৩৬ = (৪×৯) ৬৩ = (৭×৯)
... ...
৭২ = (৮×৯)
২৭ = (৩×৯)
৮১ = (৯×৯) ১৮ = (২×৯)
৯০ =(৯×১০) ০৯ = (১×৯)
সূত্র: http://www.eklavya.org/magic9-1.html
দেখুন, প্রতি সারিতে দুপাশের সংখ্যার অঙ্ক দুটি কীভাবে স্থান পরিবর্তন করেছে। যেমন ০৯ এর বরাবর ৯০, ১৮ এর বরাবর ৮১ ...। কী চমৎকার ছন্দ!
৯–এর আরও কয়েকটি চমকপ্রদ ব্যাপার দেখুন আগামী রোববার।

আমি কিছু আম কিনে প্রথম দিন এর এক–চতুর্থাংশ খেলাম। এর পরদিন অবশিষ্ট আমের এক–তৃতীয়াংশ খেলাম। তৃতীয় দিন অবশিষ্ট আমের অর্ধেক খেয়ে দেখি আর মাত্র ২টি আম আছে। এখন বলুন তো, প্রথমে আমি কতটি আম কিনেছি?
আপনার উত্তর আমার ই–মেইলে পাঠাতে পারেন। সঠিক উত্তর দেখুন আগামী রোববার এই অনলাইন কলামে।

* আব্দুল কাইয়ুম, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তার সম্পাদক
quayum.abdul@prothomalo.com