উৎপাদকগুলোর মধ্যে পূর্ণবর্গ সংখ্যা কতটি?

গণিতের বেশ কিছু সমস্যার সমাধানের জন্য আমরা বীজগণিতের সাধারণ নিয়ম প্রয়োগ করতে পারি। যেমন, একটি প্রশ্ন, দুটি সংখ্যার অনুপাত (১:২)। সংখ্যা দুটির প্রতিটির সঙ্গে ৪ যোগ করলে অনুপাত হয়ে যায় (২:৩)। সংখ্যা দুটি কত? এর সমাধানের জন্য আমরা যদি ধরে নিই একটি সংখ্যা ক তাহলে অপর সংখ্যাটি নিশ্চয়ই ২ক। কারণ তাহলেই তো তাদের অনুপাত ১:২ হবে। এখন এদের প্রত্যেকের সঙ্গে ৪ যোগ করলে অনুপাত দাঁড়াবে (ক + ৪) / (২ক + ৪) = ২:৩। অথবা, (৩ক + ১২) = (৪ক + ৮)। এই সমীকরণ থেকে আমরা পাই, ক = (১২ – ৮) = ৪। তাহলে একটি সংখ্যা = ৪। অপর সংখ্যাটি = ২ক = (২*৪) = ৮। এদের অনুপাত (১:২)।

আরেকটি প্রশ্নের সমাধানের উপায় দেখুন। প্রশ্ন হলো ৩, ১২ ও ৩৬ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত? এর উত্তর বের করার জন্য প্রথমেই আমরা লক্ষ্য করব যে, ৩৬ সংখ্যাটি ৩ ও ১২ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। সুতরাং কোনো সংখ্যা যদি ৩৬ দিয়ে বিভাজ্য হয়, তাহলে সেটা ৩ ও ১২ দিয়েও নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। এখন আমরা দেখছি, ৩৬ এর দ্বিগুণ = ৭২ এবং তিনগুণ = ১০৮। যেহেতু আমাদের দরকার তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা, তাই উত্তর ১০৮। এটা ৩৬ দিয়ে বিভাজ্য বলে ৩ ও ১২ দিয়েও নিঃশেষে বিভাজ্য। ৩৬ এর চারগুণ = ১৪৪। এটাও ৩৬ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য, কিন্তু এটা উত্তর হবে না। কারণ এর চেয়ে ছোট ১০৮ সংখ্যাটি তো ৩৬ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য।

এ সপ্তাহের ধাঁধা
বলুনতো ১০২৪ এর উৎপাদকগুলোর মধ্যে কতটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা আছে? 

খুব সহজ। এক নিমেষে উত্তর বের করতে পারেন। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা quayum@gmail.com ইমেইলে উত্তর পাঠিয়ে দিন।
গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এরকম: ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সবগুলো সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য?
উত্তর
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি ২৩২৭৯২৫৬০
প্রায় সবাই সঠিক উত্তর দিয়েছেন। সবাইকে ধন্যবাদ।
কীভাবে উত্তর বের করলাম
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু. = ২৩২৭৯২৫৬০
আবার অন্যরকম যুক্তি দিয়েও উত্তর বের করা যায়। যেহেতু সংখ্যাটি ২, ৪, ৮ ও ১৬ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য, তাই সংখ্যাটির একটি উৎপাদক হবে (২৪)। আবার ৩ ও ৯ দিয়ে বিভাজ্য হতে হলে (৩২) একটি উৎপাদক। এই দুটি উৎপাদক থাকলে সংখ্যাটি ৬,১২ ও ১৮ দিয়েও বিভাজ্য হবে। উৎপাদক ৫ ও ৭ থাকলে সংখ্যাটি ১৫ ও ১৪ দিয়েও বিভাজ্য হবে। একইসঙ্গে ১০ ও ২০ দিয়েও বিভাজ্য হবে। অবশিষ্ট ১১, ১৩, ১৭ ও ১৯ মৌলিক সংখ্যাগুলোও উৎপাদক হবে। অর্থাৎ এই সংখ্যাগুলোর গুণফলই আমাদের নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা। সুতরাং ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = (২৪) × (৩২) × ৫ × ৭ × ১১×১৩×১৭×১৯ = ২৩২৭৯২৫৬০

* আব্দুল কাইয়ুম: সম্পাদক, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তা