কতটি সংখ্যা?

সংখ্যা নিয়ে গণিতের অনেক ধরনের সমস্যা রয়েছে। যেমন, একটি সহজ সমস্যা দেখুন। যদি প্রশ্ন করি, দুই অঙ্কের কতটি সংখ্যা আছে যাদের একটি অঙ্ক ৫? এর উত্তরের জন্য আমাদের হয়তো খুব বেশি ভাবতে হবে না। কারণ ১৫, ২৫, ৩৫, ৪৫, ৬৫, ৭৫, ৮৫ ও ৯৫ এই আটটি সংখ্যায় একটি করে ৫ আছে। এখানে লক্ষ্য করলে দেখব ৫৫ লিখিনি। কারণ এখানে ৫ আছে দুইটি, একটি নয়। তাই বাদ দিয়েছি। কিন্তু হয়তো খেয়ালই করিনি যে আরও নয়টি সংখ্যা রয়েছে। ওগুলো হলো ৫০, ৫১, ৫২, ৫৩, ৫৪, ৫৬, ৫৭, ৫৮ ও ৫৯। দুই অঙ্কের এই নয়টি সংখ্যার প্রতিটিতে একটি করে ৫ রয়েছে। সুতরাং আমাদের প্রশ্নের উত্তর হবে, একটি করে ৫ আছে এমন দুই অঙ্কের মোট সংখ্যা = (৮ + ৯) = ১৭ টি।

আরেকটি সমস্যার মজার সমাধান দেখুন। পুকুরে একটি পদ্ম ফুল ফুটেছে। এর গোলাকার পাতার আকার প্রতিদিন দ্বিগুণ হারে বাড়ছে। ৩ দিনে যদি পুকুরের অর্ধেক অংশ ভরে যায়, তাহলে পুরো অংশ ভরতে আর কত দিন লাগবে? সাধারণত মনে হবে, এ আর কঠিন কী? ৩ দিনে যদি অর্ধেক অংশ ভরে যায়, তাহলে পুরো অংশ ভরতে লাগবে আরও ৩ দিন! কিন্তু না। প্রথমে শর্তটি ভালোভাবে মনে রাখতে হবে। পাতার আকার প্রতিদিন দ্বিগুণ হচ্ছে।তাই, ৩ দিনে যদি অর্ধেক অংশ পূর্ণ হয়, তাহলে পর দিনই পাতার আকার দ্বিগুণ হয়ে পুরো পুকুর ভরে যাবে। সুতরাং উত্তর, আর মাত্র ১ দিন লাগবে, ৩ দিন নয়।

এ সপ্তাহের ধাঁধা
দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার অঙ্কগুলোর স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যা দুটির বিয়োগফল যদি ১৮ হয়, তাহলে দুই অঙ্কের এ রকম কতটি সংখ্যা আছে?
খুব সহজ। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা quayum@gmail.com ই-মেইলে আপনাদের উত্তর পাঠিয়ে দিন। সঠিক উত্তর দেখুন আগামী রোববার অনলাইনে।

গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার অঙ্ক দুটির যোগফল ১০। সংখ্যাটি থেকে ৩৬ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যায় অঙ্ক দুটি স্থান পরিবর্তন করে।সংখ্যাটি কত?

উত্তর:
সংখ্যাটি ৭৩। (৭৩ - ৩৬) = ৩৭। এখানে প্রথম সংখ্যার অঙ্ক দুটির স্থান পরিবর্তন হয়েছে।

কীভাবে উত্তর বের করলাম
আমরা বীজগণিতের সাহায্যে সহজে এর উত্তর বের করতে পারি। যেমন, মনে করি দুই অঙ্কের সংখ্যার অঙ্ক দুটি ক ও খ। শর্ত অনুযায়ী (ক + খ) = ১০। অর্থাৎ, ক = (১০ - খ)। আবার, সংখ্যাটি (কখ)। এর মান (১০ক + খ)। এই সংখ্যা থেকে ৩৬ বিয়োগ করলে সংখ্যাটির অঙ্ক দুটি স্থান পরিবর্তন করে।অর্থাৎ, (১০ক + খ - ৩৬) = (খক)। এর মান (১০খ + ক)। সুতরাং দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী (১০ক + খ -৩৬) = (১০খ + ক)। অথবা ৯ক = (৯খ+৩৬)। যেহেতু প্রথম শর্ত থেকে পেয়েছি, ক = (১০ - খ), এই মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে পাই, ৯×(১০ -খ) = ৯×(খ + ৪) এই সমীকরণ থেকে পাই, ২খ = ৬। অথবা খ = ৩। তাহলে, ক = (১০ - ৩) = ৭। সুতরাং সংখ্যাটি = (কখ) = ৭৩। এবার মিলিয়ে দেখি, (৭৩ - ৩৬) = ৩৭। এখানে অঙ্ক দুটির স্থান পরিবর্তন হয়েছে।

আব্দুল কাইয়ুম, সম্পাদক, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তা