বলুন তো যোগফল কত?

গণিতের কিছু সহজ ধাঁধা আছে, যার সমাধানের জন্য শুধু একটি তথ্য মনে রাখাই যথেষ্ট। যেমন ধরুন একটি প্রশ্ন, দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল যদি আরেকটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তাহলে সংখ্যা দুটি কত? এর উত্তর বের করার জন্য আমাদের মনে রাখতে হবে, শুধু ২ ছাড়া অন্য সব মৌলিক সংখ্যা বিজোড়। এখন দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল যদি আরেকটি মৌলিক সংখ্যা হতে হয়, তাহলে মৌলিক সংখ্যা দুটির একটি নিশ্চয়ই ২। কারণ অন্য যেকোনো দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল জোড় সংখ্যা হবে, তাই সেটা আর মৌলিক সংখ্যা হতে পারে না। কারণ, সব জোড় সংখ্যা ২ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। এখন এই সূত্র ব্যবহার করে আমরা নির্ণেয় মৌলিক সংখ্যা দুটি সহজেই বের করতে পারি। শুধু দেখতে হবে, দুটি ক্রমিক মৌলিক সংখ্যার পার্থক্য ২ কি না। যদি পার্থক্য ২ হয়, তাহলে সেখানেই আমাদের উত্তর খুঁজে পাব। যেমন: ৩ ও ৫ দুটি ক্রমিক মৌলিক সংখ্যা, যাদের পার্থক্য ২। সুতরাং আমরা বলতে পারি ২ ও ৩ একটি উত্তর। কারণ, এদের যোগফল ৫, যা একটি মৌলিক সংখ্যা। এ রকম ২ ও ১১, ২ ও ১৭, ২ ও ২৯, ২ ও ৪১, ২ ও ৫৯, ২ ও ১৩৭, ২ ও ১৪৯...প্রভৃতি নির্ণেয় দুটি মৌলিক সংখ্যা হতে পারে। কারণ, এদের প্রতি জোড়া সংখ্যার যোগফল যথাক্রমে ১৩, ১৯, ৩১, ৪৩, ৬১, ১৩৯, ১৫১...প্রভৃতি, যেগুলো মৌলিক সংখ্যা।

আরেকটি মজার ধাঁধা দেখুন। যদি ১ + ৩ = ৪, ২ + ৪ = ১০, ৩ + ৫ = ১৮ হয়, তাহলে ৪ + ৬ = কত? এর উত্তর বের করার জন্য আমরা প্রতিটি পদের বৈশিষ্ট্য বের করব। দেখা যাবে, প্রতি পদের সংখ্যা দুটির যোগফল হিসেবে দেখানো হয়েছে ওই সংখ্যা দুটির গুণফলের সঙ্গে প্রথম সংখ্যাটির যোগফল হিসেবে। যেমন (১ + ৩) = (১ × ৩ + ১) = ৪। (২ + ৪) = (২ × ৪ + ২) = ১০ ইত্যাদি। তাহলে (৪ + ৬) = (৪ × ৬ + ৪) = ২৮।

এ সপ্তাহের ধাঁধা
বলুন তো, যদি (ক + খ) = ৩ হয়, তাহলে (ক^৪ + খ^৪) = কত?

একটু কঠিন মনে হলেও কিন্তু সহজ। সামান্য চিন্তা করলেই উত্তর খুঁজে পাবেন। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা [email protected] ই-মেইলে উত্তর পাঠিয়ে দিন। সঠিক উত্তর জানার জন্য দেখুন আগামী রোববার অনলাইনে।

গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: এমন চারটি ক্রমিক মৌলিক সংখ্যা বের করুন তো যাদের যোগফলও একটি মৌলিক সংখ্যা?

উত্তর
ক্রমিক মৌলিক সংখ্যা চারটি যথাক্রমে ২, ৩, ৫ ও ৭। এদের যোগফল = (২ + ৩ + ৫ + ৭) = ১৭, যা একটি মৌলিক সংখ্যা।

সবাই সঠিক উত্তর দিয়েছেন। সবাইকে ধন্যবাদ।

কীভাবে উত্তরটি বের করলাম
প্রথমে লক্ষ করছি, শুধু ২ ছাড়া বাকি সব মৌলিক সংখ্যাই বিজোড় সংখ্যা। সুতরাং, চারটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যার মধ্যে ২ না থাকলে তাদের যোগফল নিশ্চয়ই জোড় সংখ্যা হয়ে যাবে। তাহলে সেটা তো মৌলিক সংখ্যা হতে পারে না। কারণ, সব জোড় সংখ্যাই ২ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। তাই ২ এবং এর পরের তিনটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল বের করে দেখি সেটা মৌলিক সংখ্যা কি না। হ্যাঁ, মৌলিক সংখ্যা। সুতরাং চারটি ক্রমিক মৌলিক সংখ্যা নিশ্চয়ই হতে পারে ২, ৩, ৫ ও ৭। এদের যোগফল = (২ + ৩ + ৫ + ৭) = ১৭। ১৭ একটি মৌলিক সংখ্যা, তাই এটা প্রদত্ত শর্ত পূরণ করে।