অন্তর্বৃত্ত কী? সরাসরি বললে, কোনো বহুভুজের অন্তঃস্থিত বৃত্তকেই অন্তর্বৃত্ত বলে।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ত্রিভুজের তিনটি বাহুকেই স্পর্শ করে, এমন বৃত্তকে অন্তর্বৃত্ত বলে। চলো আজ একটু অন্যভাবে অন্তর্বৃত্তকে দেখি।
প্রথমে দেখি একটা কোণের সমদ্বিখণ্ডকের দিকে। একটা সমদ্বিখণ্ডকের ওপর যেকোনো বিন্দু নিলে সেই বিন্দু কোণের বাহু দুটি থেকে সমদূরবর্তী হবে। অর্থাৎ সমদ্বিখণ্ডক রেখার ওপর কোনো বিন্দু থেকে বাহুদ্বয়ের ওপর লম্ব আঁকলে সেই লম্বদূরত্বদ্বয় সমান হবে। বিষয়টা
খুব সহজেই প্রমাণ করা যায় (নিজে চেষ্টা করো)।
চিত্র-১
চিত্র-১–এ লক্ষ করো। ∠ABC এর সমদ্বিখণ্ডক BE। E বিন্দু থেকে AB এবং BC বাহুর ওপর EM ও EN লম্ব আঁকি। তাহলে ওপরের কথা থেকে বলা যায়, EM=EN হবে। আবার এর উল্টোটাও সত্য। মানে, EM⊥AB, EN⊥BC এবং EM=EN হলে BC রেখা ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক হবে (এটার প্রমাণও কিন্তু খুব সহজ, চেষ্টা করে দেখো। এখন একটু চিন্তা করো, একটা ত্রিভুজের দুটি কোণকে সমদ্বিখণ্ড করে ছেদবিন্দুর ক্ষেত্রে কী হবে?
চিত্র-২
চিত্র-২–এ লক্ষ করো। ABC ত্রিভুজ আঁকা আছে। ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক আর ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক I বিন্দুতে ছেদ করে। এখন I থেকে ∠ABC-এর AB ও BC বাহুর ওপর লম্ব আঁকা হলো IF ও ID।
আবার I থেকে∠ACB-এর AC-এর ওপর IE লম্ব আঁকি। আর I থেকে BC-এর ওপর আগেই লম্ব ID আঁকা হয়েছে।
এখন ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক BI-এর ক্ষেত্রে, IF=ID
আবার, ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক CI-এর ক্ষেত্রে, IE=ID
তাহলে বলা যায়, IF=ID=IE, অর্থাৎ IF=IE
এখান থেকে বলা যায়, AI হচ্ছে ∠BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক।
অতএব, ত্রিভুজের কোণগুলোর সমদ্বিখণ্ডক একবিন্দুতে মিলিত হয়।
এখন, I-কে কেন্দ্র করে ID বা IE বা IF-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে যদি বৃত্ত আঁকা হয়, তাহলে বৃত্তটি ত্রিভুজের তিন বাহুকে স্পর্শ করবে। অর্থাৎ AB, BC, AC এই তিন বাহুই বৃত্তের স্পর্শক হয়। কারণ, বৃত্তের স্পর্শক ব্যাসার্ধের সঙ্গে লম্ব হয়। এখানে ID, IE, IF বৃত্তের তিন ব্যাসার্ধই ত্রিভুজের তিন বাহুর সঙ্গে লম্ব তৈরি করে। তাই D, E, F বিন্দুগুলো স্পর্শবিন্দু।
তাহলে, এখানে ত্রিভুজের অভ্যন্তরে এমন একটি বৃত্ত আঁকা সম্ভব হলো যাতে ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু এর স্পর্শক হয়। এই বৃত্তের একটি আলাদা নাম আছে। এই বৃত্তকে বলা হয় অন্তর্বৃত্ত আর এর এখানে I কেন্দ্রকে বলা হয় অন্তঃকেন্দ্র। তো এই অন্তর্বৃত্ত কিন্তু অনেক কাজে লাগে। প্রচুর সমস্যার সমাধান হিসেবে এই সুন্দর জিনিস ব্যবহার করা যায়।
অন্তর্বৃত্ত নিয়ে কিছু সমস্যা এখানে দেওয়া হলো।
১. প্রমাণ করো, অন্তর্বৃত্ত ত্রিভুজের মধ্যে আঁকা সবচেয়ে বড় বৃত্ত।
২. প্রমাণ করো, একটি ত্রিভুজের একটিমাত্র অন্তর্বৃত্ত আঁকা সম্ভব।
৩. অন্তর্বৃত্তের সঙ্গে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের কোনো সম্পর্ক আছে কি?
সামাজিক গতিশীলতা
সামাজিক গতিশীলতা বলতে সামাজিক পদমর্যাদার পরিবর্তনকে বোঝায়। সমাজের কোনো ব্যক্তি যখন নিজের প্রচেষ্টায় তাঁর সামাজিক অবস্থান, মর্যাদা ইত্যাদির মাত্রাগত পরিবর্তন করতে সক্ষম হন, তখন তাকে সামাজিক গতিশীলতা বলে। যেমন নিম্নবিত্ত পরিবারের কোনো সদস্য যদি উচ্চশিক্ষা গ্রহণের মাধ্যমে ভালো মানের একটি চাকরিতে প্রবেশ করেন, তবে তাঁর সামাজিক পদমর্যাদার পরিবর্তন ঘটে।