আজ আমরা জ্যামিতির খুবই সহজ এবং মজার একটি উপপাদ্য ‘বৃত্তের পাওয়ার অব পয়েন্ট’ নিয়ে জানব। এই উপপাদ্য ব্যবহার করে খুব সহজেই আমরা একটি বিন্দুর সঙ্গে একটি বৃত্তের বিভিন্ন সম্পর্ক নির্ণয় করতে পারি। শুরুতে জেনে নিই, একটি বৃত্তের সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর পাওয়ার অব পয়েন্ট বলতে আসলে কী বোঝায়। মনে করো, r ব্যাসার্ধ ও O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্ত এবং A একটি বিন্দু। তাহলে O বৃত্তের সাপেক্ষে A বিন্দুর পাওয়ার অব পয়েন্ট হবে AO2 - r2 এর সমান।
অর্থাৎ, এভাবে লেখা যায়: PO(A)=AO2-r2
এ ক্ষেত্রে A বিন্দুর অবস্থান কিন্তু ৩টি ভিন্ন অঞ্চলে হতে পারে।
চিত্র-১–এ, A বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে আছে।
এ ক্ষেত্রে AO > r বা, AO2 > r2
অর্থাৎ, PO(A)>0 হবে।
চিত্র-২–এ, A বিন্দুটি বৃত্তের পরিধির ওপর আছে।
এ ক্ষেত্রে AO = r বা, AO2 = r2
অর্থাৎ, PO(A)= 0 হবে।
চিত্র-৩–এ, A বিন্দুটি বৃত্তের ভেতরে আছে।
এ ক্ষেত্রে AO < r বা AO2 < r2
অর্থাৎ, PO(A)<0 হবে।
এভাবে আমরা সহজেই পাওয়ার অব পয়েন্টের মান ব্যবহার করে কোনো বৃত্তের সাপেক্ষে একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করতে পারি।
আচ্ছা, চিত্র-১ নিয়ে আরেকটু ভাবা যাক। এ ক্ষেত্রে যেহেতু A বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে আছে, তাই A থেকে আমরা বৃত্তে স্পর্শক অঙ্কন করতে পারি। তাহলে চলো, A বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক এবং বৃত্তের সাপেক্ষে A বিন্দুর পাওয়ার অব পয়েন্টের মধ্যে সম্পর্ক বের করার চেষ্টা করি।
এখানে A বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক হলো AB। আমরা সহজেই বলতে পারি, A বিন্দুটির পাওয়ার অব পয়েন্ট হলো:
PO(A) = AO2 - r2
আবার, ΔAOB একটি সমকোণী ত্রিভুজ (কেন বলো তো?)।
কাজেই, পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
AO2 = AB2 + r2
বা, AO2 - r2 = AB2
সুতরাং, PO(A) = AB2
তাহলে আমরা বলতে পারি, একটি বৃত্তের সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর পাওয়ার অব পয়েন্টের মান ওই বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের বর্গের সমান।
আচ্ছা, A বিন্দু থেকে আমরা যেমন বৃত্তের ২টি স্পর্শক অঙ্কন করতে পারি, তেমনি বৃত্তের অসংখ্য ছেদকও তো অঙ্কন করতে পারি। তাহলে এবার আমরা A বিন্দুগামী বৃত্তের ছেদকের সঙ্গে বিন্দুটির পাওয়ার অব পয়েন্টের সম্পর্ক নির্ণয় করব। এ জন্য স্পর্শকের সঙ্গে বিন্দুটির পাওয়ার অব পয়েন্টের সম্পর্কটি মনে রাখা জরুরি।
ওপরের চিত্র দুটিতে একই বৃত্ত ও বিন্দুর সাপেক্ষে দুইটি ভিন্ন ছেদক অঙ্কন করা হয়েছে, যারা বৃত্তটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। B ও C এবং B ও D যোগ করি।
এখানে, ΔABC ~ ΔABD
কারণ, ∠BAD = ∠BAC
এবং ∠ABD = ∠ACB (কেন?)
সুতরাং, AB/AC = AD/AB
অর্থাৎ, AB2 = AC × AD
সুতরাং, PO(A) = AC × AD
অর্থাৎ আমরা এখন যেকোনো নির্দিষ্ট বিন্দুগামী বৃত্তের ছেদকের মাধ্যমে বিন্দুটির পাওয়ার অব পয়েন্ট নির্ণয় করতে পারব। তাহলে আমরা সহজেই পাওয়ার অব পয়েন্ট উপপাদ্য এবং স্পর্শক ও ছেদকের সঙ্গে এর সম্পর্কগুলো শিখে ফেলেছি।