গণিত ইশকুল: সংখ্যা পদ্ধতি
সংখ্যাপদ্ধতি বা Number System সম্পর্কে আমরা অনেকেই জানি। মূলত নির্দিষ্ট প্রতীক বা চিহ্ন দ্বারা কোনো সংখ্যা প্রকাশ করার পদ্ধতিকেই সংখ্যাপদ্ধতি বলে, যা প্রধানত দুই প্রকার। একটি হচ্ছে স্থানিক (Positional), অপরটি অস্থানিক (Non-positional). প্রাচীনকালে মানুষ বিভিন্ন প্রাণী বা বস্তুর ছবির মাধ্যমে অথবা দাগ কেটে সংখ্যা প্রকাশ করত, যেটি অস্থানিক সংখ্যাপদ্ধতির উৎকৃষ্ট উদাহরণ। আমরা বর্তমানে যে দশমিক পদ্ধতিতে সংখ্যা প্রকাশ করি, সেটি স্থানিক সংখ্যাপদ্ধতি। এ ছাড়া দুইভিত্তিক (Binary), আটভিত্তিক (Octal), ষোলোভিত্তিক (Hexa decimal), এ রকম n–ভিত্তিক সংখ্যাপদ্ধতির বাস্তব অস্তিত্ব রয়েছে। আজ আমরা দেখব কীভাবে যেকোনো n–ভিত্তিক সংখ্যাকে দশমিক (10 ভিত্তিক) সংখ্যায় রূপান্তর করতে হয়। শুরু করা যাক তাহলে।
প্রথমেই বলে নিই, স্থানিক সংখ্যাপদ্ধতিতে কোনো সংখ্যা প্রকাশ করতে হলে সংখ্যাটির নিচে ডান দিকে তার ভিত্তি উল্লেখ করতে হয়। এ রকম: (62)8(8 ভিত্তিক 62). দৈনন্দিন জীবনে আমাদের ব্যবহৃত সব সংখ্যাই দশমিক বা 10–ভিত্তিক হওয়ায় আমরা তাতে ভিত্তি উল্লেখ করি না।
আমরা সবাই স্থানীয় মান সম্পর্কে জানি। দশমিক (10–ভিত্তিক) সংখ্যাপদ্ধতিতে 720 সংখ্যাটির ক্ষেত্রে 7 অঙ্কটি শতকের স্থানে থাকায় এর স্থানীয় মান হচ্ছে 7×100=700.
এভাবে (ABCD)10 সংখ্যাটিকে স্থানীয় মান ব্যবহার করে লিখলে হবে এ রকম— A×1000+B×100+C×10+D×1 অর্থাৎ A×103+B×102+C×101+D×100
এখন চিন্তা করো তো, (ABCD)8 সংখ্যাটিকে স্থানীয় মান ব্যবহার করে লিখলে কী হবে?
এটি আসলে তেমন কিছুই নয়, শুধু 10–এর জায়গায় 8 বসিয়ে দিলেই হবে।
তার মানে
(ABCD)8 =A×83+B×82+C×81+D×80
সুতরাং n–ভিত্তিক সংখ্যাপদ্ধতিতে কোনো পূর্ণ সংখ্যার ডান দিক থেকে a-তম অঙ্ক b হলে, উক্ত অঙ্কটির স্থানীয় মান b×na-1
অর্থাৎ, (ABCD)n–এর মান হচ্ছে,
A×n3+B×n2+C×n1+D×n0
একটা জিনিস লক্ষ করেছ? আমরা কিন্তু যেকোনো n–ভিত্তিক পূর্ণ সংখ্যাকে 10–ভিত্তিক সংখ্যায় রূপান্তরের নিয়ম শিখে ফেলেছি। আমরা চর্চা করার জন্য (5B18)13 কে 10–ভিত্তিক সংখ্যায় নেই। [এখানে বলে রাখা ভালো, কোনো সংখ্যাপদ্ধতির ভিত্তি 11 বা তার অধিক হলে তখন 10, 11, 12.... সংখ্যাগুলোকে A, B, C,.... হিসেবে প্রতীকায়িত করে একেকটি অঙ্কের মতো বিবেচনা করা হয়।]
অর্থাৎ, (5B18)13 = 5×133+B×132+1×131+8×130
=5×133+11×132+1×131+8×130
এ তো গেল শুধু n–ভিত্তিক পূর্ণ সংখ্যাকে 10–ভিত্তিক সংখ্যায় রূপান্তর করা। কিন্তু কোনো সংখ্যা তো ভগ্নাংশও হতে পারে। n–ভিত্তিক ভগ্নাংশকে 10–ভিত্তিক সংখ্যায় নেব কীভাবে? চলো দেখি।
তোমরা হয়তো খেয়াল করেছ, 10–ভিত্তিক সংখ্যাপদ্ধতিতে আমরা 0.2 কে লিখি 2/10। তেমনি 0.17 কে লিখি 17/100। মূলত 0.17 হচ্ছে (0.1+0.07)।
এটিকে লেখা যায় (1/10+ 7/100), অর্থাৎ (1×10-1 + 7×10-2) আকারে।
এভাবে (0.ABC)10 কে লেখা যায়,
A×10-1 + B×10-2 + C×10-3 আকারে।
এখন চিন্তা করো তো, (0.ABC)8 কে কীভাবে লেখা যাবে? হ্যাঁ, ঠিক ধরেছ।
A×8-1 + B×8-2 + C×8-3 আকারে।
সুতরাং n–ভিত্তিক সংখ্যাপদ্ধতিতে কোনো ভগ্নাংশ সংখ্যার ক্ষেত্রে দশমিকের পর a-তম অঙ্ক b হলে উক্ত অঙ্কটির স্থানীয় মান = b×n-a।
তাহলে এখন আমরা n–ভিত্তিক যেকোনো মূলদ সংখ্যাকে 10–ভিত্তিক সংখ্যায় রূপান্তর করতে পারি।
(ABCD.EFG)6 = (ABCD)6 +(0.EFG)6
= (A×63+B×62+C×61+D×60) +(E×6-1 +F×6-2+G×6-3)
আজকের মতো এখানেই শেষ করছি। তবে তোমাদের জন্য কিছু সমস্যা রেখে গেলাম।
১) (12313)4 কে দশমিকে রূপান্তর করো।
২) (10110.0010)2 কে দশমিকে রূপান্তর করো।
৩)(2B5.A4)13 কে দশমিকে রূপান্তর করো।