সবার জন্য বিন্যাস সমাবেশ (পর্ব-৬) | গণিত ইশকুল
এই পর্বে আমরা দেখব গুণ ও ভাগের নিয়ম ব্যবহার করে বিন্যাস সংখ্যা বা কতভাবে বিভিন্ন বস্তু সাজানো যায়, সেই সংখ্যাটা কীভাবে বের করতে পারি।
একদম সহজ দিয়ে শুরু করা যাক। মনে করো তোমাকে ১, ২, ৩, ৪, ৫—এই পাঁচটি অঙ্ক দেওয়া হলো। এবার বলা হলো, এই পাঁচটি অঙ্ক একবার করে ব্যবহার করে পাঁচ অঙ্কের কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে? দেখো তো, তোমরা এখানে যোগ বা গুণের সূত্র ব্যবহার করতে পারো কি না? এখানে খাতায় লিখে লিখে করতে গেলে পারবে না, অনেক সময় লাগবে। তাহলে কীভাবে করবে, সেটাই হচ্ছে প্রশ্ন। চলো দেখা যাক।
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ধরো, এটি আমাদের একটি পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা যেখানে {১, ২, ৩, ৪, ৫} অঙ্কগুলো আছে। এখন দেখো তো তোমার কাজ কী এখানে? এই ঘরগুলোয় একটি করে অঙ্ক বসাতে হবে, তাই না? তার মানে ঘরগুলোয় কতভাবে অঙ্কগুলো বসতে পারে, সেটা বের করলেই চলবে। একটু সুবিধার জন্য ঘরগুলোর নাম্বারিং করি বাঁ দিক থেকে।
এবার দেখো, বাঁ দিক থেকে প্রথম ঘর দিয়ে যেহেতু শুরু করেছ, এই ঘরে কী কী অঙ্ক বসতে পারে!
এখানে তুমি চাইলে আমাদের কাছে যে চারটি অঙ্ক আছে, এদের যে কাউকেই বসাতে পারো, তাই না? হ্যাঁ। সুতরাং ১ নম্বর ঘরের জন্য অপশন ৫টি, এরপর ২য় ঘরে আসা যাক। এখানে তুমি ১ম ঘরে যে অঙ্কটি বসিয়েছ, সেটি ব্যতীত বাকিগুলো বসাতে পারবেন অর্থাৎ ৪টি অপশন, ৩য় ঘরের জন্য এবার তাহলে অপশন ৩টি। একইভাবে ৪র্থ ও ৫ম ঘরে যথাক্রমে ২টি ও ১টি অপশন। এখন আসা যাক, যোগ নাকি গুণ নাকি অন্য কিছু করতে হবে!
এখানে দেখো, তুমি যদি শুধু ১ম ঘরে অঙ্ক বসান, তাহলে কি ৫ অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা তৈরি হবে? না, হবে না, এখানে সব কটি ঘরেই একটি করে অঙ্ক বসাতে হবে। অর্থাৎ একেকটি অঙ্ক বসানোকে যদি একেকটি কাজ বলি, তাহলে বলা যায়, এখানে সবকটি কাজ করতে হবে।
এবার তাহলে বুঝতেই পারতেছি যে এখানে গুণের সূত্র হবে। কারণ, আমরা আগেই দেখেছি, বিন্যাসের ক্ষেত্রে যদি সব কটি কাজই করতে হয়, সে ক্ষেত্রে কাজগুলোর অপশন এর গুণফলই হবে মোট বিন্যাসসংখ্যা। তাহলে এখানে উত্তর হবে—৫×৪×৩×২×১=১২০ একে আমরা ৫!ও বলতে পারি। (n! মানে হচ্ছে ১ থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার গুণ অর্থাৎ n!=1×2×3×4×5×...×n)
তাহলে এখানে মোট ১২০টি ৫ অঙ্কের সংখ্যা গঠন করা যাবে।
এবার তাহলে বলুন তো, আমার কাছে যদি {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}—এই ছয়টি অঙ্ক দেওয়া হতো এবং জিজ্ঞেস করা হতো, ছয় অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে? তাহলে উত্তর কত হবে? দেখো একটু চিন্তা করলেই বের করতে পারবেন যে উত্তর হবে ৬×৫×৪×৩×২×১=৬! তাহলে এখন মনে হয় বুঝে গিয়েছ যদি ১-৯ পর্যন্ত ৯টি অঙ্ক দিয়ে ৯ অঙ্কের সংখ্যা হবে ৯!টি। এখানে দেখো, সুন্দর একটা প্যাটার্ন চলে এসেছে। কিন্তু আমাদের বাস্তব জীবনে এ রকম বলবে না যে ৫টি অঙ্ক থেকে ৫ অঙ্কের সংখ্যা কতগুলো হবে। আমাদের এমনও দরকার হতে পারে যে {১, ২, ৩, ৪, ৫} অঙ্কগুলো দিয়ে ৩ অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যাবে?। তাহলে এখানে কীভাবে করবে?
দেখো এবারও আগের মতই [ ][ ][ ] এই তিনটি বক্সের মধ্যে {১, ২, ৩, ৪, ৫} এদেরকে কতগুলো ভিন্নভাবে রাখা যায়, সেটিই হচ্ছে আমাদের উত্তর। এবার তাহলে দেখো—
এবারও ঘরগুলোকে নাম্বারিং করলাম। ১ নম্বর ঘরে বসতে পারবে {১, ২, ৩, ৪, ৫} এদের মধ্যের যেকোনো অঙ্ক। সুতরাং এই ঘরের জন্য অপশন আছে ৫টি, এখন ২য় ঘরের জন্য ১ম ঘরে যেটি বসেছে, সেটি ছাড়া বাকি ৪টির মধ্যে যেকোনোটা বসতে পারে। তার মানে ২য় ঘরের জন্য অপশন আছে ৪টি। এবার একইভাবে ৩য় ঘরের জন্য অপশন আছে ৩টি। তাহলে তিন অঙ্কের মোট সংখ্যা বানানো যাবে ৫×৪×৩= ৫!/২!টি। এখানে একটি জিনিস খেয়াল করো। ৫টি সংখ্যা থেকে ৩টি করে নিয়ে কতভাবে নেওয়া যায় এটাই ছিল আমাদের সমস্যা এবং আমাদের উত্তর হচ্ছে ৫!/২! কোনো প্যাটার্ন কি খুঁজে পেলে? যদি একটু ভালোভাবে দেখে থাকো, তাহলে দেখবে এটা আসলে ৫!/(৫-৩)!। দেখো, আমাদের কাছে কতগুলো ভিন্ন অঙ্ক ছিল আর কত অঙ্কের সংখ্যা বানাতে হবে সেটির সঙ্গে একটি মিল আছে। এই প্যাটার্ন থেকে কিন্তু এভাবে বলা যায়, যদি তোমার কাছে n সংখ্যক জিনিস থাকে এবং সেখান থেকে r সংখ্যক জিনিস নিয়ে বিন্যাস করতে বলে, তাহলে মোট n!/(n-r)! ভাবে কাজটি করা যাবে। এবার তাহলে বলো তো, ইংরেজি ভাষায় ৩ অক্ষরের সর্বোচ্চ কয়টা word থাকতে পারে?
এখন দেখো, এই সমস্যার দিকে তাকালেই বুঝবে বিন্যাস–সমাবেশের শক্তি কত বেশি। ইংরেজি ভাষায় দক্ষ এ রকম কাউকে যদি তুমি জিজ্ঞেস করো যে ইংরেজি ভাষায় ৩ অক্ষরের কতগুলো শব্দ থাকতে পারে, সে তোমাকে বলতে পারবে না আর তুমি কিন্তু এখন ঠিকই বলতে পারবে।
তাহলে এখন কিছু সমস্যার সমাধান করার চেষ্টা করো।
১. {১, ২, ৩, ৪, ৫} এই অঙ্কগুলো সর্বোচ্চ একবার করে ব্যবহার করে করে ৪ অঙ্কের কতগুলো জোড় সংখ্যা তৈরি করা যাবে?
২. {০, ২, ৩, ৪, ৫, ৬} অঙ্কগুলো সর্বোচ্চ একবার ব্যবহার করে ৫ অঙ্কের কতগুলো জোড় সংখ্যা তৈরি করা যাবে? এদের মধ্যে ৩০,০০০ থেকে বড় কতগুলো হবে?
৩. {০,১, ২, ৩, ৪, ৫} অঙ্কগুলো সর্বোচ্চ একবার ব্যবহার করে ৫০০ থেকে বড়, ৫ দিয়ে ভাগ যায় এ রকম কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?