সবার জন্য বিন্যাস সমাবেশ (পর্ব-৮) | গণিত ইশকুল

এখন তোমাকে বলা হলো, তুমি সব সময় লাল ও নীল মার্বেল দুটিকে একসঙ্গে রেখে কত ভিন্নভাবে এদেরকে এক লাইনে সাজাতে পারবে? একটু নিজে নিজে চিন্তা করো অথবা খাতা–কলম নিয়ে চেষ্টা করলে পেয়ে যাবে উত্তর। তবে এই সমস্যাটির খুবই সুন্দর একটি সমাধান এ রকম—তুমি যদি আঠা দিয়ে লাল ও নীল মার্বেলটিকে একসঙ্গে লাগিয়ে দাও, তারপর যদি এদের সাজাও, তাহলে দেখো তুমি যেভাবেই সাজানোর চেষ্টা করো না কেন, লাল ও নীল মার্বেল দুটি কিন্তু একসঙ্গেই থাকবে।

সুতরাং এখন যদি আমরা বের করতে পারি, এই আঠা দিয়ে লাগানো মার্বেলটি ও বাকি ৩টিকে কতভাবে সাজানো যায়, তাহলেই আমাদের উত্তর চলে আসবে। তবে এখন কিন্তু আমাদের কাছে ৫টি বস্তু নেই সাজানোর জন্য। কারণ, লাল ও নীল মার্বেল দুটি একটি মার্বেলের মতো কাজ করছে। তাই আমাদের কাছে আছে ৪টি ভিন্ন বস্তু। এদের সাজানো যাবে ৪! ভাবে। তাহলে আমাদের উত্তর কী ৪!? একটু চিন্তা করে দেখো তো, আমাদের সমাধানের কোথাও কোনো যৌক্তিক ভুল আছে কি না? নিজেকে গণিতে পারদর্শী করতে চাইলে খুবই প্রয়োজনীয় যে গুণ তোমার থাকা দরকার সেটি হচ্ছে, নিজে কোনো একটি সমস্যার সমাধান করে তোমার নিজেরই চেষ্টা করা উচিত, সেই সমাধানের কোনো ভুল বের করা সম্ভব কি না।

আচ্ছা, এবার আমরা একটু চিন্তা করি, আমাদের হিসাব ঠিকঠাক আছে কি না! আমারা এখানে লাল ও নীল মার্বেলগুলোকে একসঙ্গে লাগিয়ে দিয়েছি। তারপর এটিকে ভিন্ন একটি মার্বেল চিন্তা করে সমাধান ৪! বের করেছি। কিন্তু এখানে একটা জিনিস চিন্তা করা হয়নি। সেটি হচ্ছে, আমরা যে লাল ও নীল বলগুলোকে একসঙ্গে আঠা দিয়ে লাগিয়ে দিয়েছি, তারপর এদের কোনটিকে বামে আর কোনটিকে ডানে রাখলাম, সেটা কিন্তু চিন্তা করার বিষয়। একটু অন্যভাবে বলি। মনে করি লাল, নীল, সবুজ, হলুদ, বেগুনি মার্বেলগুলো যথাক্রমে R, B, G, Y, V। এখন যদি RB লাল ও নীল একত্রে বোঝায়, যেখানে লাল বামে এবং নীল ডানে, তাহলে এভাবে সাজানো মানে { RB, G, Y, V} এদেরকে সাজাতে হবে। এর উত্তর ৪! কিন্তু আমি যদি লাল ডানে এবং নীলটিকে বামে রাখি তাহলে {BR, G, Y, V} এদের সাজাতে হবে। এর উত্তর ৪!। এখানে কিন্তু {RB, G, Y, V} কে সাজালে যেসব বিন্যাস পাওয়া যাবে, {BR, G, Y, V} কে সাজালে এর চেয়ে ভিন্ন রকম বিন্যাস পাওয়া যাবে এবং দুই ক্ষেত্রেই লাল ও নীল একত্রে থাকছে। তাহলে আমাদের সঠিক উত্তর হওয়া উচিত ২×৪!। এখানে ২ দিয়ে গুণ করার কারণ এতক্ষণে পরিষ্কার হওয়ার কথা।

তাহলে এ ধরনের সমস্যা যেখানে কিছু জিনিস একসঙ্গে থাকবে, এটা সমাধান করার ক্ষেত্রে আমরা যে কৌশল কাজে লাগাব, সেটি হচ্ছে যাদের একসঙ্গে রাখতে হবে। আমরা সব কটিকে আঠা দিয়ে একসঙ্গে লাগিয়ে দেব, অর্থাৎ এ ধরনের সব কটিকে একটি বস্তু বানিয়ে ফেলব। তারপর বিন্যাসসংখ্যা বের করব এবং এর সঙ্গে গুণ করব। এই যে আঠা দিয়ে একসঙ্গে রাখলাম, কতগুলো ভিন্নভাবে একসঙ্গে লাগিয়ে রাখা যায়, অর্থাৎ যারা একসঙ্গে থাকতে চায়, তাদের কতভাবে একসঙ্গে রাখা যায়!

তাহলে এবার চলো, এই সম্পর্কিত আরেকটি সমস্যা দেখা যাক।

মনে করো, তোমার ক্লাসে ৯ জন ছাত্র আছে যাদের রোল ১ থেকে ৯ পর্যন্ত। এখন তুমি তাদের পরীক্ষার জন্য সিটপ্ল্যান করবে। তোমার কাছে এক সারিতে ৯টি বেঞ্চ আছে এবং প্রত্যেককে আলাদা বেঞ্চে রাখতে চাচ্ছ এবং এমনভাবে তাদের বসাতে চাচ্ছ, যাতে রোল ১, ২ ও ৩ পরপর না বসে। অর্থাৎ ৪৫৬২৩১৭৮৯ অথবা ৩১২৪৫৬৭৮৯ এ রকম থাকতে পারবে না, তবে দুইজন পাশাপাশি রাখতে চাইলে রাখা যাবে।

এখন প্রশ্ন হচ্ছে, তুমি সর্বোচ্চ কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সিটপ্ল্যান করতে পারবে?

দেখো এই সমস্যাটা কিন্তু আগের সমস্যাটির মতোই। শুধু পার্থক্য এতুটুকুই যে এখানে বলা হয়েছে {১, ২, ৩} এরা একসঙ্গে থাকতে পারবে না আর আগে বলা হয়েছিল একসঙ্গে থাকবে।

তাহলে এই সমস্যার সমাধান করার জন্য আমরা প্রথমে বের করব কোনো শর্ত ছাড়া {১, ২, ৩,…..৯} এদের কতভাবে সাজানো যায়। সেখান থেকে বিয়োগ করে দেব যতগুলোর মধ্যে {১, ২, ৩} একে-অপরের পাশাপাশি থাকবে। প্রথমে আসা যাক, মোট কতগুলো ভিন্নভাবে সাজানো যাবে যদি কোনো শর্ত না থাকে। সে ক্ষেত্রে উত্তর হচ্ছে ৯!। এখন {১, ২, ৩} তিনটিকে পরস্পরের পাশাপাশি রেখে সাজাতে চাচ্ছি। তাই আগের কৌশল অনুযায়ী {১, ২, ৩}—এই তিনটিকে একটি মনে করব (মনে মনে ভাবো, আঠা দিয়ে লাগিয়ে দিলাম)। তাহলে {১, ২, ৩} মিলে একটি সংখ্যার মতো হয়ে গেল। ধরো, ক=১২৩। এখন তাহলে তোমার কাছে {ক, ৪, ৫, ৬,…৯} মোট ৭টি সংখ্যা আছে। এদের সাজানো যাবে ৭! ভাবে। আর তুমি ক = ১২৩ না ধরে ক = ২১৩ ধরলেও এ রকম আরও ৭! সংখ্যক বিন্যাস পাবেন। এখন এ রকম ক বানানো যাবে মোট ৩! সংখ্যক। আবার যেহেতু প্রত্যেকের জন্যই ৭! সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যাবে তাই মোট বিন্যাস হবে।

৭!৩! টি।

অর্থাৎ তুমি ৭!৩!গুলো বিন্যাস বানাতে পারবে, যেখানে {১, ২, ৩} পরস্পর পাশাপাশি থাকবে। তাহলে {১, ২, ৩} এদের পাশাপাশি না রেখে সাজানো যাবে মোট

৯!-৭!৩! ভাবে।

এবার তোমাদের জন্য একটি সমস্যা রেখে যাই। সেটি হচ্ছে {a, b, c, a, e, d, f} অক্ষরগুলোকে কতভাবে সাজানো যাবে, যেখানে vowelগুলো একত্রে থাকবে?