অনেকদিন পর আবার তোমাদের মাঝে ‘জ্যামিতি পাঠ’ নিয়ে হাজির হলাম। আজকের পর্বে একটি ছোট্ট জ্যামিতি সমস্যা নিয়ে আলোচনা করব। তাহলে চলো শুরু করা যাক।
সমস্যাটি হলো ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2025 বর্গমিটার। P ত্রিভুজের অভ্যন্তরে একটি বিন্দু। PQ, PR এবং PS যথাক্রমে AB, BC এবং CA-এর ওপর লম্ব। PQ + PR + PS-এর মান বের করো।
এখন আমরা আগে সুন্দর করে প্রশ্নানুযায়ী চিত্র আঁকব। তারপর চিন্তা করব কীভাবে এগোনো যায়।
আমাদের প্রশ্নে চেয়েছে PQ + PR + PS-এর মান এবং আমাদের এই জন্য দেয়া আছে সমবাহু ∆ABC-এর ক্ষেত্রফল। তাহলে এই PQ, PR, PS-এর সঙ্গে ক্ষেত্রফলের সাথে কোনো সম্পর্ক আছে কি না, তা বের করব।
দেখো, আমরা যদি P, A; P, B; P, C যোগ করি, তাহলে ∆APB, ∆APC, ∆BPC তিনটি নতুন ত্রিভুজ পাব। নিচের চিত্রটা খেয়াল করো।
এখন, ∆APB এর ক্ষেত্রফল = ½ × PQ × AB, ∆BPC এর ক্ষেত্রফল = ½ × PR × BC এবং ∆APC এর ক্ষেত্রফল = ½ × PS × AC।
এখন কী করা যায় বলো তো ? হ্যাঁ! ছোট তিনটা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যোগ করে বড় ত্রিভুজের সমান লিখব।
∴ [∆APB] + [∆BPC] + [∆APC] = [∆ABC]
বা, (½ × PQ × AB) + (½ × PR × BC) + (½ × PS × AC) = 2025
বা, (½ × PQ × AB) + (½ × PR × AB) + (½ × PS × AB) = 2025 [∵ AB = BC = CA]
বা, ½ × AB × (PQ + PR + PS) = 2025
বা, AB × (PQ + PR + PS) = 4050 … … … (i)
এখন AB-এর মান বের করতে পারলেই আমরা PQ + PR + PS-এর মান পেয়ে যাব।
দেখো আমরা জানি, সমবাহু ∆ABC-এর ক্ষেত্রফল = √3/4 × AB2
বা, 2025 = √3/4 × AB2
বা, AB2 = 8100/√3
বা, AB = 90/√(√3)
(i) হতে পাই, 90/√(√3) × (PQ + PR + PS) = 4050
বা, PQ + PR + PS = {4050 × √(√3)}/90
∴ PQ + PR + PS = {405 × √(√3)}/9
তোমাদের জন্য ছোট্ট একটা অনুশীলন:
∆ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। PR⊥BC, PQ⊥AB এবং PS⊥AC। [∆ABC] = S, [∆APQ] = S1, [∆BPQ] = S2, [∆BPR] = S3, [∆PRC] = S4, [∆PSC] = S5 এবং [∆APS] = S6 হলে, প্রমাণ করো যে S1 + S3 + S5 = S2 + S4 + S6 = S/2।
দ্রষ্টব্য: [.] দ্বারা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বোঝানো হয়েছে।