আজকের টপিকের নাম শুনেই হয়তো অনেকে ভয় পেয়ে গেছেন, কেনো জেনো মানুষ “রিয়েল অ্যানালাইসিস” কে ভয় পায়, আমি জানি না কেন। তবে এটুকু বলতে পারি আপনি যদি একটু সময় নিয়ে এই টপিকসটা পড়েন তাহলে হয়তো এটা আপনার ভালোবাসার জিনিসও হয়ে যেতে পারে। যাই হোক আমি আজকে থেকে কয়েকটি পর্বে অ্যানালাইসিস এর শুরুর দিকের কিছু জিনিস নিয়ে কথা বলবো,আশা করা যায় এতে আপনাদের কিছুটা হলেও বুঝতে সাহায্য করবে ।
অ্যানালাইসিসের সব থেকে গুরুত্বপূর্ণ টুলস হলো ∊ (এপসাইলন) ও δ (ডেলটা) এর ব্যবহার ।
প্রথমেই আমরা দেখবো অ্যানালাইসিসে কিভাবে ∊ (এপসাইলন) ব্যবহার করে দুটি বাস্তব সংখ্যাকে সমান প্রমান করা হয় ।
“আমরা দুটি বাস্তব সংখ্যা a,b কে সমান বলবো যদি এবং কেবল যদি এই সংখ্যা দুটির মধ্যের পার্থক্য যে কোন পজিটিভ সংখ্যা ∊ (এপসাইলন) থেকে ছোট করা যায়”
এখন এখানে এটা সত্য যে যদি সংখ্যা দুটি সমান হয় তাহলে এদের পার্থক্য শূন্য তার মানে যে কোন পজিটিভ সংখ্যা ∊ (এপসাইলন) থেকে ছোট।
এখন বিপরীত দিক থেকে যদি চিন্তা করি যে, সংখ্যা দুটির পার্থক্য যে কোন পজিটিভ সংখ্যা ∊ থেকে ছোট তাহলে এরা সমান কিনা!
এখানে একটি কথা a,b এর পার্থক্য যে কোন পজিটিভ সংখ্যার থেকে ছোট এই ব্যাপারটা আমাদেরকে ভালো ভাবে বুঝতে হবে,এই কথার মানে আসলে আমরা যত ছোট পজিটিভ সংখ্যাই নেই না কেন, |a-b|<আমাদের ওই সংখ্যা ∊।
অর্থাৎ |a-b|<0.000000000000000000000000000001 এবং এটাও সত্য যে,
|a-b|<0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000001
এভাবে যে কোন ছোট নাম্বার থেকে এই দুটি সংখ্যার পার্থক্যকে আমরা ছোট করতে পারবো। তাহলে আমরা এতক্ষণে বুঝতে পেরেছি যে সংখ্যা দুটিকে সমান হতে হবে। এখন কথা হলো, প্রমান করবো কিভাবে?!
অ্যানালাইসিসে আরেকটি সমস্যা হলো আমরা কোন কিছু অনুমান করতে পারলেই হবে না গনিতের লজিক দিয়া সেটাকে প্রমাণ করতে হবেই হবে। তাহলে চলুন প্রমাণ করার চেষ্টা করা যাক। এই সমস্যাটিকে সরাসরি প্রমাণ না করে আমরা একটু ভিন্ন ভাবে আগাবো ।
আচ্ছা আমরা মনে করলাম যে, a,b সংখ্যা দুটির মধ্যের পার্থক্য যে কোন পজিটিভ সংখ্যা ∊ (এপসাইলন) থেকে ছোট করা যায় কিন্তু এই সংখ্যা দুটি সমান না। আচ্ছা সমান না মানে কি?
এদের মধ্যে অবশ্যই কোনো পার্থক্য আছে , সেই পার্থক্যর মান তো কোনো একটা ধনাত্মক সংখ্যা। ধরে নিলাম c=|a-b| বা c হলো এদের মধ্যকার পার্থক্য। এখন তো বুঝাই যাচ্ছে যে, a,b সংখ্যা দুটির মধ্যের পার্থক্যকে c থেকে আর ছোট করা সম্ভব না। তার মানে ,সংখ্যা দুইটির পার্থক্যকে ∊ (এপসাইলন)=c এর থেকে ছোট করা যাবে না।
তাহলে তো “a,b সংখ্যা দুটির মধ্যের পার্থক্য যে কোন পজিটিভ সংখ্যা ∊ (এপসাইলন) থেকে ছোট করা যায়” এই কথাটি ভুল।
না এই কথাটা ভুল হতে পারে না কারণ এটাকে সত্য মনে করেই নিছিলাম। তাহলে আর কোথায় ভুল হতে পারে! আমরা অন্য একটিকে অনুমান করে নিছিলাম যে “সংখ্যা দুটি সমান না” এই উক্তিটিই তাহলে ভুল।
সুতরাং বলা যায় যে সংখ্যা দুটি সমান।
আচ্ছা আমরা তাহলে প্রমান করে ফেললাম যে “আমরা দুটি বাস্তব সংখ্যা a,b কে সমান বলবো যদি এবং কেবল যদি এই সংখ্যা দুটির মধ্যের পার্থক্য যে কোন পজিটিভ সংখ্যা ∊ (এপসাইলন) থেকে ছোট করা যায়” আমারা এখন যেভাবে প্রমাণ করলাম, এই পদ্ধতিকে আমরা বলি “prove by contradiction”।
এই পদ্ধতিতে আসলে আমাদের যে উক্তিটাকে প্রমাণ করতে হয় সেটাকেই আমারা ভুল মনে করে নেই। তারপর দেখা যায় যে এমন কোন ফলাফল আসছে যেটা আসলে অসম্ভব। তখন আমরা বলি যে, আমরা যেটাকে মিথ্যা বলেছিলাম সেটা আসলে সত্য। এভাবেই প্রমাণ হয়ে যায় কোন একটি গানিতিক উক্তি।
তবে এখানে হয়তো অনেকে প্রমাণের মধ্যে হারিয়েই যেতে পারেন! এতে হতাশ হওয়ার কিছু নাই। একটু ভালো ভাবে খেয়াল করেন, এরপর নিজে একটু চিন্তা করেন তারপর সহজ হয়ে যাবে। আর একটা কথা অ্যানালাইসিসে কখনও কোন কিছু জোর করে নিজেকে বুঝানোর চেষ্টা না করাই ভাল, যতক্ষণ পর্যন্ত ঠিক মতো না বুঝেন। এটা নিয়ে একটু চিন্তা ভাবনা করেন এক সময় বিষয়টি উপলব্ধি করতে পারবেন।
আজকে এ পর্যন্তই, পরের পর্ব গুলতে আমরা আরেকটু অ্যানালাইসিস শিখবো।