আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াড ২০২৩ (সমস্যা ১-এর সমাধান)

প্রিয় গণিত ইশকুলের বন্ধুরা, আশাকরি সবাই ভালো আছো। তোমরা জানো এবছর জাপানের চিবায় ৬৪ তম আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াড অনুষ্ঠিত হয়। সেখানে মোট ৬ টি সমস্যা সমাধান করার জন্য দেওয়া হয়েছিল। আজকের এই পর্বে আমরা ১ম সমস্যার সমাধান দেখব।

নিচের শর্ত মেনে চলে এমন সকল যৌগিক n > 1 বের কর: যদি {d₁, d₂, … ... d_k}, n এর সকল উৎপাদকের সেট হয়, যেখানে, 1 = d₁ < d₂ < d₃ < ... ... < d_k = n। তাহলে, 1 ≤ i ≤ (k – 2) এর  জন্য d_i | d_i+1 + d_i+2।

প্রথমত, n = p^l (যেখানে p একটি মৌলিক সংখ্যা এবং l > 1 অখন্ড সংখ্যা) কাজ করে। কেননা সেক্ষেত্রে—

·       {d₁, d₂, … ... d_k} = {1, p, … … p^l}

·       d_i = p^{i - 1} | pⁱ + p^{i + 1} = d_{i + 1} + d_{i + 2}

এরপর আমরা কন্ট্রাডিকশন দিয়ে প্রমাণ করব এটি ছাড়া আর কোনো মান কাজ করে না। এজন্য প্রথমে ধরি, n > 1 একটি যৌগিক সংখ্যা, যার উৎপাদক সংখ্যা k এবং মৌলিক উৎপাদক সংখ্যা দুই বা ততোধিক । এখানে,

d_{k - 2} |d_{k - 1} + d_k এবং d_{k - 2} |d_k । অর্থাৎ, d_{k - 2} | d_{k - 1}।

এখন ধরি, n-এর সবচেয়ে ছোট মৌলিক উৎপাদক q । তার মানে, d₂ = q।

এখন, n = d₁ × d_k = d₂ × d_{k - 1} = d₃ × d_{k - 2}

∴ d_{k - 1}/d_{k - 2} = d₃/d₂

যেহেতু, d_{k - 2} | d_{k - 1} তাই, d₂ | d₃

∴ d₂ = q | d₃

⇾ d₂ | d₃ + d₄

⇾ q | d₃ + d₄

⇾ q | d₄

এখন আমরা আরোহ পদ্ধতি ব্যবহার করব। মনে করি, q | d_x এবং q | d_{x - 1}।

∴ d_{x - 1} |d_x + d_{x + 1}

⇾ q | d_x + d_{x + 1}

⇾ q | d_{x + 1}

এখান থেকে বলা যায়, 1 ছাড়া n এর সকল উৎপাদক, q দ্বারা বিভাজ্য। কিন্তু এটা সত্যি নয়, কারন n-এর আরেকটি মৌলিক উৎপাদক বিদ্যমান।

সুতরাং, প্রদত্ত সমস্যার একমাত্র সমাধান: n = p^l (যেখানে p একটি মৌলিক সংখ্যা এবং l > 1 অখণ্ড সংখ্যা )।