গণিত ভাইয়ার ম্যাগাজিন রহস্য

গণিত ভাইয়া প্রতিটি লেখা শুরু করেন তাঁর ছোট বন্ধুদের শুভেচ্ছা জানিয়ে। হাবলু তাঁকে খুব ভালো করেই চেনে। অথচ এবারের ম্যাগাজিনের লেখার ভঙ্গিটা কেমন যেন অচেনা! আরও আশ্চর্যের বিষয়, যত ব্যস্ততাই থাকুক, প্রতি মাসের প্রথম শুক্রবার আড্ডায় আসা গণিত ভাইয়া এবার এলেনই না। হাবলুর মনে সন্দেহ জাগল—ম্যাগাজিনের লেখাটি কি সত্যিই গণিত ভাইয়ার?

সে খুব মনোযোগ দিয়ে ম্যাগাজিনের পাতা ওল্টাতে শুরু করল। ৬০ নম্বর পাতায় চোখ আটকে গেল একটি শব্দে: ‘গনিত’। গণিত ভাইয়া তো সব সময় ‘গণিত’ লেখেন! ভুলটি ছিল ওই পাতার ১০ নম্বর লাইনের ৩ নম্বর শব্দ। পাতার শুরু থেকে গুনলে এটি ১২তম শব্দ, আর পুরো পাতায় শব্দ আছে ১৩৫টি। পাতার নিচে ছোট করে লেখা ছিল—

সারি = A, কলাম = B, তম শব্দ = C,

Page number = D, Total word = E

হাবলু বুঝে গেল: A = 10, B = 3, C = 12, D = 60, E = 135।

কিন্তু এতেই বার্তার জট খুলল না। ম্যাগাজিনের বাকি পাঁচটি পাতায় গণিত ভাইয়া পাঁচটি ছোট ঘটনার ভেতর আরও পাঁচটি প্রশ্ন লুকিয়ে রেখেছেন। সেগুলোর উত্তরেই আছে বাকি পাঁচটি চলক—F, G, H, J, K।

প্রশ্ন-১

প্রথম সূত্রটি হাবলুকে নিয়ে গেল অন্ধকার একটি ঘরের সামনে। দরজায় গণিত ভাইয়ার চিরকুট, ‘বাক্স থেকে মোজা তোলো, কিন্তু আলো জ্বালাবে না। তোমার হাতে ১০ জোড়া মোজা থাকা নিশ্চিত হলেই দরজা খুলবে।’ বাক্সটিতে ১০০টি কালো, ৮০টি নীল, ৬০টি লাল ও ৪০টি সাদা মোজা আছে। হাবলু রং না দেখে একটি একটি করে মোজা তুলল। রং যেভাবেই আসুক, তোলা মোজাগুলো দিয়ে মোট ১০ জোড়া বানানো যাবে (প্রতি জোড়ায় একই রঙের দুটি মোজা থাকবে)—এটি নিশ্চিত করতে তাকে সর্বনিম্ন কয়টি মোজা তুলতে হবে? অর্থাৎ F = কত?

প্রশ্ন-২

পরের পাতায় হাবলু একটি 4 × 4 বর্গছক পেল। প্রধান কর্ণের চারটি ঘরে গণিত ভাইয়া লাল ক্রস এঁকে লিখেছেন, ‘এই ঘরগুলো নিষিদ্ধ।’ বাকি ঘরগুলোতে চারটি একই রকম ঘুঁটি এমনভাবে বসাতে হবে, যেন প্রতিটি সারি ও প্রতিটি কলামে ঠিক একটি করে ঘুঁটি থাকে। এভাবে ঘুঁটিগুলো কতভাবে বসানো যায়? অর্থাৎ G = ?

প্রশ্ন-৩

তৃতীয় পাতায় একটি সিন্দুকের ছবি। তার গায়ে লেখা, ‘সবচেয়ে ছোট চাবিই তালা খুলবে।’ গণিত ভাইয়ার সূত্রটি হলো:

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n।

এমন সর্বনিম্ন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর মান কত, যার জন্য n! সংখ্যাটি 27 দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? অর্থাৎ, H = ?

প্রশ্ন-৪

চতুর্থ পাতায় হাবলু ১ থেকে ১০০ নম্বর দেওয়া ১০০টি বন্ধ দরজার এক রহস্যময় করিডরের নকশা পেল। গণিত ভাইয়ার নির্দেশ অনুযায়ী, প্রতি রাউন্ডে বাঁ দিক থেকে শুধু বন্ধ দরজাগুলো গণনা করতে হবে। নিয়ম হলো: প্রথমটি খুলতে হবে, পরেরটি সেই রাউন্ডে বন্ধ রাখতে হবে; তার পরেরটি খুলতে হবে—এভাবে পর্যায়ক্রমে একটি খুলবে ও একটি বন্ধ থাকবে। সারির শেষে পৌঁছালে নতুন রাউন্ড শুরু হবে। আগের রাউন্ডে বন্ধ থাকা দরজাগুলো আবার শুরু থেকে গণনায় আসবে। ইতিমধ্যে খোলা দরজাগুলো আর গণনা করা হবে না।

একটা উদাহরণ দেওয়া যাক। দরজা মাত্র ৮টি হলে—

১. প্রথম রাউন্ডে ১, ৩, ৫, ৭ খুলবে; বন্ধ থাকবে ২, ৪, ৬, ৮।

২. দ্বিতীয় রাউন্ডে ২, ৬ খুলবে; বন্ধ থাকবে ৪, ৮।

৩. তৃতীয় রাউন্ডে ৪ খুলবে; বন্ধ থাকবে ৮।

৪. চতুর্থ রাউন্ডে ৮-ও খুলে যাবে।

একই নিয়মে ১০০টি দরজা খোলা হলে সবার শেষে কোন নম্বরের দরজাটি খুলবে? সেই সংখ্যাটি হলো J

প্রশ্ন-৫

শেষ পাতায় গণিত ভাইয়া ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো কোনো ফাঁক না দিয়ে লম্বা কালির পথের মতো লিখেছেন। তাতে তৈরি হলো:

N = 123456789101112...9899100। পথের শেষ সূত্র K পেতে N-কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে? অর্থাৎ K = ?

শেষ বার্তার তালা

১০টি চলকের মান বসিয়ে গোপন বার্তাটি উদ্ধার করো। নিচে দুটি শব্দের সংকেত দেওয়া হলো:

প্রথম শব্দ: (A+G) (E/G) (F-K-A) (F-K) (D/C)

দ্বিতীয় শব্দ: (J/H+A) (H-B) (H-K) (C+G) (G+B) (K) (C+D/A) (A+B-K) (C+F-A)

নিয়মাবলি

১. প্রতিটি ( ) থেকে একটি সংখ্যা পাওয়া যাবে। বাঁ থেকে ডানে মোট ১৪টি সংখ্যা আসবে।

২. সরল অঙ্কের নিয়ম অনুযায়ী গুণ ও ভাগের কাজ আগে এবং যোগ ও বিয়োগের কাজ পরে করতে হবে।

৩. প্রতিটি ভাগ নিঃশেষে বিভাজ্য হবে, না হলে বুঝতে হবে কোথাও ভুল হয়েছে।

৪. দুই সারির মাঝের বিরতিটি গোপন বার্তার দুই শব্দের মাঝের ফাঁকা জায়গা।

৫. প্রতিটি সংখ্যাকে ইংরেজি বর্ণে বদলাও (A = 1, B = 2, C = 3, …, Z = 26)।

এখানে হাবলুর পাওয়া A, C, D-এর মান দিয়ে দুই ঘর পর্যন্ত সমাধান করে দেখানো হলো।

৫ নম্বর ঘর: (D/C) = 60 / 12 = 5 (তালিকায় 5 মানে E)

১২ নম্বর ঘর: (C+D/A) = 12 + (60 / 10) = 12 + 6 = 18 (তালিকায় 18 মানে R)। বাকি ১২টি ঘরও একইভাবে সমাধান করতে হবে।

সে জন্য F, G, H, J, K-এর মান বের করতে হবে।

এখন বলো তো, বার্তাটি কী?

সহযোগিতায়: বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড কমিটি