এশিয়া প্যাসিফিক গণিত অলিম্পিয়াড-২০২২ (সমস্যা ৩–এর সমাধান)

প্রিয় গণিত ইশকুলের বন্ধুরা, আজকের পর্বে তোমাদের জন্য থাকছে এশিয়া প্যাসিফিক গণিত অলিম্পিয়াড-২০২২–এ আসা তৃতীয় সমস্যার সমাধান।

সমস্যা:

এমন সব বাস্তব সংখ্যা k < 202 বের করো, যার জন্য একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n রয়েছে যেন,

{n/202} + {2n/202} + … … + {kn/202} = k/2

যেখানে {x} দ্বারা x এর ভগ্ন অংশ (Fractional part) নির্দেশ করে।

সমাধান:

লক্ষ করো, a কে 202 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 202{a/202}। অর্থাৎ, 202{a/202} ≡ a (mod 202)।

তাহলে, 202{n/202} + 202{2n/202} + … … + 202{kn/202} = 202 × k/2 = 101k

⟹ n + 2n + … … … + kn ≡ 101k (mod 202)

⟹ nk(k+1)/2 ≡ 101k (mod 202)

⟹ 101 | nk(k+1)/2

এখন, n যদি 101 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে আমরা পাই,

{c/2} + {2c/2} + … … + {kc/2} = k/2

এখানে, {x/2} = 0 অথবা ½ । সুতরাং আমরা পেয়ে যাই,

{c/2} = {2c/2} = … … = {kc/2} = 1/2

কিন্তু, {2c/2} = 0 সুতরাং k ≱ 2 ⟹ k = 1

অপর দিকে, 101 ∤ n হলে, 101 | k(k+1)/2

তাহলে, 101 | k অথবা 101 | (k + 1)। যেহেতু, k < 202, তাই আমরা পেয়ে যাই k ∈ {100, 101, 201}।

এখন আমরা দেখাব যে, k = 1, 100, 101, 201 প্রতিটির জন্য আমরা এমন n খুঁজে পাব।

k = 1–এর জন্য, n = 101 নিলে পাই, {101/202} = ½

k = 100–এর জন্য, n = 2 নিলে পাই, {1/101} + {2/101} + … … … + {100/101} = {(100×101)/2}/101 = 100/2

k = 201–এর জন্য, n = 1 নিলে পাই, {1/101} + {2/101} + … … … + {100/101} = {(201×202)/2}/202 = 201/2

এখন, আমরা দেখাব (k, n) = (103, 101) ও কাজ করে।

লক্ষ করো, 1 ≤ i ≤ 101–এর জন্য,

i = 2d হলে, 103i ≡ 206d ≡ 4d ≡ 2i (mod 202) এবং এখানে 0 ≤ 2i < 202

i = 2d+1 হলে, 103i ≡ 206d + 103 ≡ 4d + 2 + 101 ≡ 2i + 101 ≡ 2i - 101 (mod 202)

এখানে, 1 ≤ i ≤ 49 হলে 0 ≤ 2i + 101 < 202

আর, 51 ≤ i ≤ 101 হলে 0 ≤ 2i - 101 < 202

তাহলে আমরা পাই,

202({n/202} + {2n/202} + … … … + {kn/202})

= 3775 + 1326 + 5100

= 10201

= 202(k/2)

সুতরাং,  k = 1, 100, 101, 201–এর জন্য এমন n পাওয়া যাবে।