গত পর্বে আমরা বিন্যাস ও সমাবেশ নিয়ে হালকা–পাতলা কিছু ধারণা নিয়েছিলাম। সেখানে দেখেছিলাম, বিন্যাস ও সমাবেশ আমাদের কী কী কাজে লাগে। এটা নিয়ে কাদের ধারণা থাকা দরকার, সে ব্যাপারেও একটু দেখেছিলাম। আজকের লেখাটি মূলত আমরা কীভাবে বিন্যাসের সংখ্যা বের করতে পারি, সেটা নিয়ে। তাহলে আর দেরি না করে চলুন দেখা যাক।
ওপরের চিত্রটা খেয়াল করুন। মনে করুন ক, খ, গ তিনটি শহর। ক থেকে খ–তে যাওয়ার জন্য তিনটি রাস্তা আছে। এদের নাম 1, 2 ও 3। অর্থাৎ আপনি যদি ক থেকে খ–তে আসতে চান, তাহলে আপনাকে এই তিনটির যেকোনো একটি রাস্তা ধরে আসতে হবে। আবার খ থেকে গ–তে আসার জন্য a ও b—দুটি রাস্তা আছে।
এবার তাহলে একটু চিন্তা করুন তো, আপনি যদি ক থেকে খ হয়ে গ–তে আসতে চান, তাহলে সর্বোচ্চ কয়টি ভিন্ন উপায়ে আসতে পারবেন? যেমন আপনি ক থেকে 1 নম্বর রাস্তা দিয়ে খ–তে এলেন, এরপর আবার b রাস্তা দিয়ে খ থেকে গ–তে এলেন। এটি একটি পদ্ধতি বা সম্পূর্ণ রাস্তা। এবার তাহলে চিন্তা করুন তো, এ রকম কয়টি উপায়ে ক থেকে গ–তে আসা যেতে পারে! আপনারা খাতা–কলম নিয়ে একটু চেষ্টা করুন, তারপর মিলিয়ে নিন, আমার সঙ্গে আপনাদের চিন্তাধারা ঠিক আছে কি না।
এখানে ব্যাপারটা এভাবে চিন্তা করুন যে আপনি ক থেকে খ–তে যেকোনো একটা রাস্তা ধরে এলেন, আচ্ছা মনে করুন 1 নম্বর রাস্তা দিয়েই এলেন, তারপর যদি খ থেকে গ–তে যেতে চান, তাহলে আপনার কাছে কয়টি উপায় আছে? ২টি। কারণ, আপনি a অথবা b এদের যেকোনোটি দিয়েই গ–তে যেতে পারবেন। অর্থাৎ প্রথমে 1 নম্বর, তারপর a। এভাবে প্রকাশ করি (1a)। এটা আমাদের একটি সম্পূর্ণ রাস্তা।
আবার প্রথমে 1 নম্বর, তারপর b বা (1b)। এটিও একটি সম্পূর্ণ রাস্তা। প্রথমে 1 দিয়ে এলে আপনি এই দুইভাবে আসতে পারবেন। এবার দেখুন তো আপনি যদি প্রথমে 2 নম্বর রাস্তা বাছাই করতেন, তাহলেও কিন্তু পরে খ থেকে গ–তে আসার জন্য a ও b—এই দুটি রাস্তাই থাকত। অর্থাৎ এ ক্ষেত্রেও কিন্তু আপনি দুটি আলাদা উপায়ে ক থেকে গ–তে আসতে পারবেন। একইভাবে 3 নম্বরের জন্যও ২টি রাস্তা পাওয়া যাবে। এখন একটু খেয়াল করলেই মূল ব্যাপারটা বুঝে ফেলবেন যে প্রথম রাস্তা 1, 2, 3—প্রতিটির জন্যই কিন্তু ২টি করে রাস্তা পাওয়া যাচ্ছে। তাহলে মোট রাস্তা হবে 3×2 = 6টি। আপনি ছয়টি ভিন্ন উপায়ে ক থেকে গ–তে যেতে পারবেন।
এবার আরেকটু কষ্ট করতে হবে। ধরুন, ক থেকে খ–তে যাওয়ার জন্য যদি 1, 2, 3—এই তিনটি না থেকে আরও অনেক রাস্তা, মনে করুন nটি {1, 2, 3,….n} থাকত, তাহলে ব্যাপারটি কেমন হতো? খেয়াল করুন, এখানেও কিন্তু প্রতিটি প্রথম রাস্তার জন্য খ থেকে গ–তে যাওয়ার জন্য আগের মতো সেই দুটি রাস্তাই আছে। তাহলে এ ক্ষেত্রে মোট n×2 = 2n ভাবে ক থেকে গ–তে যাওয়া যাবে।
আচ্ছা, এবার তাহলে আরেকটু চিন্তা করার চেষ্টা করে দেখি। যদি ক থেকে খ–তে যাওয়ার জন্য nটি রাস্তা থাকে, আর খ থেকে গ–তে যাওয়ার জন্য m–সংখ্যক রাস্তা থাকে, তাহলে ক থেকে গ–তে কতগুলি ভিন্ন উপায়ে যাওয়া যাবে? এটাও আগেরগুলোর মতোই। দেখুন আমি ক থেকে খ–তে যেকোনো রাস্তা দিয়েই আসি না কেন, খ থেকে গ যাওয়ার জন্য কিন্তু এবার m–সংখ্যক রাস্তা আছে। তার মানে প্রথম n–সংখ্যক রাস্তার প্রতিটির জন্যই পরে m–সংখ্যক ভিন্ন রাস্তা আছে খ থেকে গ–তে যাওয়ার জন্য ।
সুতরাং এ ক্ষেত্রে মোট n×m ভাবে ক থেকে গ–তে যাওয়া যাবে।