গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-২)
প্রশ্ন: নিচের চিত্রে লাল কোণগুলোর সমষ্টি কত ?
সমাধান:
∆AA’G’ ত্রিভুজে,
∠A + ∠AA’G’ + ∠AG’A’ = 180° … … … (i)
∆BB’A’ ত্রিভুজে,
∠B + ∠BB’A’ + ∠BA’B’ = 180° … … … (ii)
∆CC’B’ ত্রিভুজে,
∠C + ∠CC’B’ + ∠CB’C’ = 180° … … … (iii)
∆DD’C’ ত্রিভুজে,
∠D + ∠DD’C’ + ∠DC’D’ = 180° … … … (iv)
∆EE’D’ ত্রিভুজে,
∠E + ∠EE’D’ + ∠ED’E’ = 180° … … … (v)
∆FF’E’ ত্রিভুজে,
∠F + ∠FF’E’ + ∠FE’F’ = 180° … … … (vi)
∆GG’F’ ত্রিভুজে,
∠G + ∠GG’F’ + ∠GF’G’ = 180° … … … (vii)
সমীকরণগুলো যোগ করে পাই,
∠A + ∠AA’G’ + ∠AG’A’+ ∠B + ∠BB’A’ + ∠BA’B’ + ∠C + ∠CC’B’ + ∠CB’C’ + ∠D + ∠DD’C’ + ∠DC’D’ + ∠E + ∠EE’D’ + ∠ED’E’ + ∠F + ∠FF’E’ + ∠FE’F’ + ∠G + ∠GG’F’ + ∠GF’G’ = 1260°
বা, (∠A + ∠AA’G’) + (∠A + ∠AG’A’) + (∠B + ∠BB’A’) + (∠B + ∠BA’B’) + (∠C + ∠CC’B’) + (∠C + ∠CB’C’) + (∠D + ∠DD’C’) + (∠D + ∠DC’D’) + (∠E + ∠EE’D’) + (∠E + ∠ED’E’) + (∠F + ∠FF’E’) + (∠F + ∠FE’F’) + (∠G + ∠GG’F’) + (∠G + ∠GF’G’) - (∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G) = 1260°
আমরা জানি, ত্রিভুজের কোনো একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা অন্তঃস্থ বিপরীত কোন দুটির সমষ্টির সমান।
∴ A’G’F’ + ∠B’A’G’ + ∠B’A’G’ + ∠A’B’C’ + ∠A’B’C’ + ∠B’C’D’ + ∠B’C’D’ + ∠C’D’E’ + ∠C’D’E’ + ∠D’E’F’ + ∠D’E’F’ + ∠E’F’G’ + ∠E’F’G’ + ∠A’G’F’ - (∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G) = 1260°
বা, 2 × (A’G’F’+ ∠B’A’G’ + ∠A’B’C’ + ∠B’C’D’ + ∠C’D’E’ + ∠D’E’F’ + ∠E’F’G’) - (∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G) = 1260°
আবার আমরা জানি, n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (n − 2) × 180° । তাহলে, 7 বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (7 − 2) × 180° = 900°
∴ 2 × 900° -(∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G) = 1260°
বা, - (∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G) = 1260° - 1800°
বা, - (∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G) = - 540°
∴ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G = 540°