জ্যামিতি পাঠ-৪

আজকের পর্বে থাকছে দুটি মজার সমস্যা। তাহলে কথা না বাড়িয়ে আমরা জ্যামিতি সমস্যাতে চলে যাই। প্রথমে আমরা একটা কোণ সংক্রান্ত সমস্যা সমাধানে চেষ্টা করব। সমস্যাটি হলো-

চিত্রে AB = AC = CE = CD এবং ∠B = 5/2 × ∠A হলে, ∠E এর মান বের করতে হবে।

সমস্যাটা সমাধানের আগে আমরা চিত্রটা ভালোমতো খেয়াল করি এবং কী কী ক্লু দেওয়া আছে, তা লক্ষ করি। আমরা যদি ক্লুগুলো কাজে লাগিয়ে ∆ABC থেকে ∠ACB এর মান বের করতে পারি, তাহলে ∆CDE থেকে ∠CED এর মান বের করতে পারব। তাহলে চলো কীভাবে আমরা কোণগুলোর মান বের করতে পারি দেখা যাক।

আমাদের বলা আছে, AB = AC, তাহলে ∠ACB = ∠ABC হবে। কারণ আমরা জানি, কোন ত্রিভুজের দুটা বাহু পরস্পর সমান হলে, তাদের বিপরীত কোণ দুটিও পরস্পর সমান হবে। একইভাবে, CE = CD হওয়ায় ∠CDE = ∠CED।

এখন, ∆ABC হতে পাই, ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°

বা, 2/5 × ∠ABC + ∠ABC + ∠ACB = 180°  [∵ ∠B = 5/2 × ∠A]

বা, 2/5 × ∠ACB + ∠ACB + ∠ACB = 180°  [∵ ∠ABC = ∠ACB] 

বা, 12/5 × ∠ACB = 180°

∴ ∠ACB = 75° … … … (i)

আমরা ∠ACB এর মান পেয়ে গেলাম। এখন ∠CED এর মান বের করার পালা।

আবার ∆DEC হতে পাই, ∠DCE + ∠CDE +∠CED = 180°

বা, ∠ACB + ∠CDE + ∠CED = 180°  [∵ ∠DCE = ∠ACB, কারণ বিপ্রতীপ কোণ]

বা, ∠ACB + ∠CED + ∠CED = 180°  [∵ ∠CDE = ∠CED]

বা, 75° + 2∠CED = 180°  [(i)  হতে]

বা, 2∠CED = 105°

∴∠CED = ∠E = 105°/2

তাহলে আমরা ∠E এর মান পেয়ে গেলাম।

এখন আমরা আমাদের দ্বিতীয় সমস্যায় চলে যাই। এবারের সমস্যাটা ক্ষেত্রফল-সংক্রান্ত। তাহলে চটপট করে প্রশ্নটা লিখে ফেলি-

চিত্রে ABCD একটি বর্গক্ষেত্রে AE = 2BE, CF = 2BF। ত্রিভুজ DEF ও বর্গক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফলের অনুপাত বের করতে হবে।

আমাদের ক্লু দেয়া আছে AE = 2BE, CF = 2BF। আর এগুলো ব্যবহার করে AE, BE, BF ও CF কে বর্গের বাহু AB এর মাধ্যমে প্রকাশ করব।

আচ্ছা কেন এই কাজটা করব ? দেখো AE কে যদি AB এর মাধ্যমে বের করতে পারি, তাহলে [∆ADE] এর মানও AB এর মাধ্যমে পাব। একইভাবে, BE, BF ও CF কে বর্গের বাহু AB এর মাধ্যমে বের করতে পারলে [∆BEF] ও [∆CDF] এর মান AB এর মাধ্যমে পাব।

এখন [ABCD] থেকে [∆ADE] , [∆BEF] ও [∆CDF] বাদ দিলে [∆DEF] এর মানও AB এর মাধ্যমে পাব। তারপর সহজে [ABCD] ও [∆DEF] এর অনুপাত বের করতে পারব।

এখন, AE = 2BE

বা, AE = 2(AB - AE)

বা, AE = 2AB/3

এবং BE = AE/2 = AB/3

আবার, CF = 2BF

বা, CF = 2(BC - CF)

বা, CF = 2(AB - CF)   [∵ AB = BC = CD = AD]

বা, CF = 2AB/3

এবং BF = CF/2 = AB/3

এখন, [∆DEF] = [ABCD] - [∆ADE] - [∆BEF] - [∆CDF]

বা, [∆DEF] = AB² – (1/2 × AE × AD) – (1/2 × BE × BF) – (1/2 × CD × CF)

বা, [∆DEF] = AB² – (1/2 × 2AB/3 × AB) – (1/2 × AB/3 × AB/3) – (1/2 × AB × 2AB/3)

বা, [∆DEF] = AB² - AB²/3 - AB²/18 - AB²/3

বা, [∆DEF] = 5/18 × AB²

বা, [∆DEF]/AB² = 5/18

বা, [∆DEF]/[ABCD]  = 5/18  [∵ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, [ABCD] = AB²]

∴ [∆DEF] ∶ [ABCD] = 5 ∶ 18

আশা করি সমস্যা দুটি ভালো লেগেছে। পরবর্তী পর্বে আরও মজার মজার সমস্যা নিয়ে হাজির হব।