বার্থডে প্যারাডক্স

সম্ভাব্যতা নামক গণিতের মজার শাখাটার সঙ্গে আমরা সবাই পরিচিত। সম্ভাব্যতার দুনিয়ায় অন্যতম বিখ্যাত একটি সমস্যার নাম বার্থডে প্যারাডক্স। বার্থডে প্যারাডক্সের  সমস্যা অনেকটা এ রকম, ‘একটি গ্রুপে কত জন থাকলে তাদের মধ্যে অন্তত যেকোনো দুইজনের জন্মদিন মিলে যাওয়ার (একই দিনে হওয়ার) সম্ভাবনা 50% হবে?’ (উল্লেখ্য, অধিবর্ষকে বিবেচনার বাইরে রাখলেও চলবে)

কী মনে হয়, কত জন মানুষ লাগবে সম্ভাবনা 50% হওয়ার জন্য? 100 জন? 200 জন? নাকি আরও বেশি!

দুর্ভাগ্যবশত আপনার অনুমান ভুল। সঠিক উত্তর হচ্ছে 23 জন। হ্যাঁ, একটি গ্রুপে মাত্র 23 জন মানুষ থাকলেই যেকোনো দুইজনের জন্মদিন মিলে যাওয়ার সম্ভাবনা 50%! অত্যন্ত আশ্চর্যজনক হলেও এটি সত্যি। এই অস্বাভাবিক উত্তরের জন্যই বার্থডে প্যারাডক্স বিখ্যাত।

এসব কথার মারপ্যাঁচ বাদ দিয়ে এবার এ বার্থডে প্যারাডক্সের সমাধান করা যাক। প্রথমত প্রশ্নটা আবার একটু ভালো করে দেখে নিন। খেয়াল করুন, প্রশ্নে অন্তত যেকোনো দুইজনের জন্মদিন মেলার কথা বলা হয়েছে অর্থাৎ ঠিক ঠিক দুইজনেরই জন্মদিন মিলতে হবে, এমন কোনো কথা নেই! দুইজনেরও মিলতে পারে, তিনজনেরও মিলতে পারে, চারজনেরও মিলতে পারে আবার গ্রুপের মধ্যে সবার জন্মদিনও মিলে যেতে পারে [সম্ভাবনা অনেক কম হলেও এটি হওয়া অসম্ভব নয়]। কিন্তু অন্তত যেকোনো দুইজনের জন্মদিন মিলতেই হবে শর্ত অনুযায়ী। তাই সমাধান করার ক্ষেত্রে আমাদের এই সব কটি ঘটনা বিবেচনায় আনতে হবে।

সুতরাং P (অন্তত যেকোনো দুইজনের জন্মদিন মিলে যাওয়া) = P (দুইজনের জন্মদিন মিলে যাওয়া) + P (তিনজনের জন্মদিন মিলে যাওয়া) + P (চারজনের জন্মদিন মিলে যাওয়া) + ... + P (সবার জন্মদিন মিলে যাওয়া)।

এভাবে সমাধান করা খুবই সময়সাপেক্ষ ও কষ্টকর। তাই আমরা এভাবে সমাধান না করে ঠিক উল্টো দিক থেকে সমাধান করব। অর্থাৎ কারোর সঙ্গে কারোর জন্মদিন না মেলার সম্ভাবনা নির্ণয় করব। তারপর মোট সম্ভাবনা থেকে কারোর সঙ্গে কারোর জন্মদিন না মেলার সম্ভাবনা বিয়োগ করে দিলেই আমরা অন্তত যেকোনো দুইজনের জন্মদিন মেলার সম্ভাবনা পেয়ে যাব। সমাধানটা বুঝতে হলে পরবর্তী অংশটা একটু মনোযোগ দিয়ে ধীরেসুস্থে পড়ুন।

গ্রুপের 23 ব্যক্তির মধ্যে ১ম ব্যক্তির জন্মদিন বছরের 365 দিনের মধ্যে যেকোনো দিন হতে পারে। এবার গ্রুপের ২য় ব্যক্তির জন্মদিন ১ম ব্যক্তির সঙ্গে না মেলার জন্য ২য় ব্যক্তির জন্মদিন ১ম ব্যক্তির জন্মদিন ব্যতীত বছরের অন্য 364 দিনের মধ্যে যেকোনো দিন হতে পারে। সুতরাং ১ম ব্যক্তির সঙ্গে ২য় ব্যক্তির জন্মদিন না মেলার সম্ভাবনা 364/365। এখন গ্রুপের ৩য় ব্যক্তির জন্মদিন ১ম ও ২য় ব্যক্তির সঙ্গে না মেলার জন্য ৩য় ব্যক্তির জন্মদিন ওই দুজনের জন্মদিন ছাড়া বছরের অন্য 363 দিনের মধ্যে যেকোনো দিন হতে পারে। ফলে, ৩য় ব্যক্তির জন্মদিন ১ম ও ২য় ব্যক্তির সঙ্গে না মেলার সম্ভাবনা 363/365। একইভাবে ৪র্থ ব্যক্তির জন্মদিন আগের তিনজনের সঙ্গে না মেলার সম্ভাবনা 362/365, ৫ম ব্যক্তির জন্মদিন আগের চারজনের সঙ্গে না মেলার সম্ভাবনা 361/365। এভাবে ২৩তম ব্যক্তির জন্মদিন আগের 22 জনের কারোর সঙ্গে না মেলার সম্ভাবনা (365-22)/365 = 343/365।

অতএব, p (কারোর সঙ্গে কারোর জন্মদিন না মেলা) = p (১ম ব্যক্তির সঙ্গে ২য় ব্যক্তির জন্মদিন না মেলা) × p (১ম ও ২য় ব্যক্তির সঙ্গে ৩য় ব্যক্তির জন্মদিন না মেলা) × p (১ম, ২য় ও ৩য় ব্যক্তির সঙ্গে ৪র্থ ব্যক্তির জন্মদিন না মেলা) × … × p (আগের ২২ জন ব্যক্তির সঙ্গে ২৩তম ব্যক্তির জন্মদিন না মেলা) = (364/365) × (363/365) × (362/365) × (361/365) × … × (343/365)

নোট: এটা ক্যালকুলেটরে হিসাব করা সময়সাপেক্ষ। হিসাব করা অনেক সহজ হয়ে যায় যদি আমরা এভাবে লিখি­— {365!/(365-23)!}/365²³ = (365!/342!)/365²³ = 0.492 (প্রায়)

সুতরাং P (অন্তত যেকোনো দুইজনের জন্মদিন মিলে যাওয়া) = 1 – p (কারোর সঙ্গে কারোর জন্মদিন না মেলা) = 1 – 0.492 = 0.507 বা প্রায় 50% ।

দেখা যাচ্ছে আমাদের অস্বাভাবিক উত্তরটি আসলেই ঠিক। এখন এই মজার বিষয় জানার পর আপনি চাইলে এটি ব্যবহার করে বাস্তব জীবনে সবাইকে তাক লাগিয়ে দিতে পারেন। যেমন : আপনার ক্লাসে যদি 50 জন ছাত্রছাত্রী থেকে থাকে, তাহলে আপনি ক্লাসে গিয়ে নির্দ্বিধায় বুকে থাবা দিয়ে দাবি করতে পারেন, তাদের মধ্যে দুইজন একই দিনে জন্মগ্রহণ করেছে। এ ক্ষেত্রে আপনার দাবি ঠিক হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় 97%। আর যদি ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা 60 জন হয়, তাহলে আপনার দাবি সঠিক হওয়ার সম্ভাবনা 99.41% !!!

পাঠকের জন্য প্রশ্ন:

●         এখানে আমরা যেকোনো দুইজনের জন্মদিন মেলার সম্ভাবনা বের করেছি। কিন্তু ঠিক আপনার জন্মদিনে সঙ্গে গ্রুপের অন্য একজনের জন্মদিন মিলে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

●         গ্রুপে কতজন থাকলে আপনার সঙ্গে অন্য কারও জন্মদিন মিলে যাওয়ার সম্ভাবনা 90% হবে?

হিন্ট: জন্মদিন না মেলার সম্ভাবনা বের করলে কেমন হয়!