আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াড - ২০২২ (সমস্যা ৪ এর সমাধান)

ABCDE এমন একটি পঞ্চভুজ যেন BC = DE। মনে করি ABCDE এর ভিতর এমন একটি বিন্দু T আছে যেন TB = TD, TC = TE এবং ∠ABT = ∠TEA। AB রেখাটি CD ও CT রেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। মনে করি P, B, A, Q বিন্দুগুলো এ রেখাতে এ ক্রমেই আছে। AE রেখাটি CD ও DT কে যথাক্রমে R ও S বিন্দুতে ছেদ করে। মনে করি R, E, A, S বিন্দুগুলো এ রেখাতে এ ক্রমেই আছে। প্রমাণ করতে হবে যে, P, S, Q, R বিন্দুগুলো একই বৃত্তের উপর আছে।

মনে করি, DT ও CT রেখাগুলো AB ও AE কে যথাক্রমে K ও J বিন্দুতে ছেদ করে।

এখন, আমরা প্রমাণ করব S, K, J, Q একই বৃত্তের উপর আছে।

∆TBC ও ∆TDE হতে পাই,

BC = DE, TB = TD, TC = TE

সুতরাং, ∆TBC ≅ ∆TDE । তাহলে, ∠DET = ∠BCT, ∠TDE = ∠TBC

এখন, ∆DES হতে পাই,

∠ESD = 180˚ - ∠SDE - ∠DES

          = 180˚ - ∠TDE - ∠DET - ∠TES

          = 180˚- ∠TBC - ∠BCT - ∠QBT  [যেহেতু ∠ABT = ∠TEA ⇒ ∠QBT = ∠TES]

          =∠CQB  [∆CQB ত্রিভুজের কোণগুলো থেকে পাই]

সুতরাং, ∠ESD = ∠CQB

⇒ ∠JSK = ∠JQK

সুতরাং, S, K, J, Q একই বৃত্তের উপর আছে। এবার আমরা প্রমাণ করব KJ ও CD সমান্তরাল।

যেহেতু ∆TBC ≅ ∆TDE, তাই ∠ETD = ∠CTB

∴ ∠ETD + ∠DTC = ∠CTB + ∠DTC

⇒ ∠ETC = ∠DTB

⇒ 180˚ - ∠ETC = 180˚ - ∠DTB

⇒ ∠JTE = ∠BTK

এবং ∠TEJ = ∠KBT  [দেওয়া আছে]

∴ ∆TEJ ~ ∆TBK

তাহলে, TK/TJ = TB/TE

⇒ TK/TJ = TD/TC

এবং ∠DTC = ∠KTJ 

সুতরাং, ∆DTC ~ ∆KTJ

তাহলে, ∠CDT = ∠JKT

 ∴ KJ∥CD

এখন, যেহেতু S, K, J, Q একই বৃত্তে আছে, তাহলে Power of a Point উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

AS∙AJ = AQ∙AK

⇒ AK/AJ = AS/AQ

এবং যেহেতু KJ∥CD, তাহলে KJ∥PR

∴ AK/AP = AJ/AR

⇒ AK/AJ = AP/AR

⇒ AS/AQ = AP/AR

⇒ AS∙AR = AQ∙AP

সুতরাং, Power of a Point উপপাদ্য হতে আমরা বলতে পারি, P, S, Q, R একই বৃত্তের উপর আছে, যেটা আমরা প্রমাণ করতে চেয়েছিলাম।