প্রশ্নটির উত্তর দেওয়ার আগে আমরা জেনে নিই প্লেটোনিক সলিড কী এবং এর সংক্ষিপ্ত ইতিহাস!
প্লেটোনিক সলিড বা প্লেটোনীয় ঘনবস্তু হলো এক ধরনের ঘনবস্তু, যার সব কটি তল সমান বহুভুজ আকৃতির এবং যার প্রতিটি শীর্ষ বিন্দুতে সমানসংখ্যক তল যুক্ত থাকে। একে সাধারণভাবে সুষম বহুতলক বলা হয়।
প্রাচীনকাল থেকেই গ্রিকরা এগুলোকে নিয়ে ব্যাপকভাবে গবেষণা করেছে এবং এগুলোর নামকরণ করেছে তাদের দার্শনিক প্লেটোর নামানুসারে, যে তার টিম্যায়াস সংলাপে এগুলোর বিষয়ে উল্লেখ করেছিল। সেই সময় বিভিন্ন বস্তু বা বিষয়কে এ সলিডগুলোর দ্বারা প্রতীকায়িত করা হতো। যেমন পৃথিবীর জন্য ষড়তলক বা ঘনক, বাতাসের জন্য অষ্টতলক, পানির জন্য বিংশতলক, আগুনের জন্য চতুর্তলক এবং স্বর্গ ও নক্ষত্রসজ্জার জন্য দ্বাদশতলক ব্যবহার করা হতো।
ইউক্লিড তার ‘ইলিমেন্টস’ বইয়ে গাণিতিকভাবে প্লেটোনিক সলিড নিয়ে আলোচনা করেছেন, যেখানে তিনি বিভিন্ন প্লেটোনিক সলিডের পরিলিখিত গোলকের ব্যাস ও তার বাহুর দৈর্ঘ্যের আনুপাতের মান খুঁজে বের করেছেন। এ ছাড়া তিনি ৫টির অধিক প্লেটোনিক সলিড যে সম্ভব নয়, তা যুক্তি দ্বারা আলোচনা করেছেন।
১৬ শতাব্দীতে, জ্যোতির্বিদ জোহানেস কেপলার প্লেটোনিক সলিডগুলো দিয়ে সৌরজগতের গঠনকে ব্যাখ্যা করতে চেয়েছিলেন। তিনি একটি মডেল প্রস্তাব করেন যেখানে বিভিন্ন প্লেটোনিক সলিড একে অপরের অভ্যন্তরে অবস্থিত কিন্তু বিভিন্ন অন্তর্লিখিত ও পরিলিখিত গোলক দ্বারা পৃথকায়িত এবং তিনি এ ধারণাও পেশ করেন যে সৌরজগতে গ্রহগুলোর মধ্যকার দূরত্ব এ মডেল দ্বারা ব্যাখ্যা করা সম্ভব।
যদিও তার এ ধারণাটি পরবর্তী সময়ে পরিত্যক্ত হয়, তবে তার এ বিষয়ে গবেষণা তাকে গ্রহের গতির তিনটি সূত্র আবিষ্কার করতে সাহায্য করে, যা ছিল জ্যোতির্বিজ্ঞান জগতে এক বিশাল বিপ্লব। ইতিহাস পর্যালোচনা করলে দেখা যায় যে, প্লেটোনিক সলিড গণিতশাস্ত্র, দর্শন ও বিজ্ঞানশাস্ত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছে। এমনকি তাদের সৌন্দর্য ও প্রতিসাম্যতা এখনও মানুষকে মুগ্ধ করে এবং উদ্বুদ্ধ করে তাদের বিষয় চিন্তা করতে।
এখন আসা যাক শুধু পাঁচটি সলিডই কেন সেই বিষয়ে! মাত্র পাঁচটি প্লেটোনিক সলিড থাকার মূল কারণ হলো এর শীর্ষবিন্দুতে কোণগুলোর অবস্থান।
ওপরের চিত্র থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি—
প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে কমপক্ষে তিনটি তল সংযুক্ত থাকতে হবে, কেননা এক বা দুটি হলে ঘনবস্তু তৈরি হবে না (বামপাশের চিত্র)। এ ছাড়া শীর্ষবিন্দুতে সংযুক্ত কোণগুলোর যোগফল 360° থেকে কম হতে হবে, কেননা 360° হলে আকারটি সমতলীয় হয়ে যাবে (মাঝের ও ডানপাশের চিত্র)।
এখন বিভিন্ন বহুভুজের জন্য সম্ভাব্য কোণের সংখ্যা হিসাব করে পাই—
(i) ত্রিভুজ আকৃতির জন্য শীর্ষবিন্দুতে সংযুক্ত সম্ভাব্য তলের সংখ্যা:
3 ; কারণ 3 × 60° = 180° < 360°
4 ; কারণ 4 × 60° = 240° < 360°
5 ; কারণ 5 × 60° = 300° < 360°
(ii) চতুর্ভুজ আকৃতির জন্য শীর্ষবিন্দুতে সংযুক্ত সম্ভাব্য তলের সংখ্যা:
3 ; কারণ 3 × 90° = 270° < 360°
(iii) পঞ্চভুজ আকৃতির জন্য শীর্ষবিন্দুতে সংযুক্ত সম্ভাব্য তলের সংখ্যা:
3 ; কারণ 3 × 108° = 324° < 360°
ষড়ভুজের জন্য সম্ভব নয় কারণ 3 × 120° = 360°। অতএব আমরা সবেমোট পাঁচটি প্লেটোনিক সলিড পাই।
প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে,
(ক) তিনটি ত্রিভুজ তলের সংযোগে: সুষম চতুর্তলক
(খ) তিনটি চতুর্ভুজ তলের সংযোগে: সুষম ষড়তলক
(গ) চারটি ত্রিভুজ তলের সংযোগে: সুষম অষ্টতলক
(ঘ) তিনটি পঞ্চভুজ তলের সংযোগে: সুষম দ্বাদশতলক
(ঙ) পাঁচটি ত্রিভুজ তলের সংযোগে: সুষম বিংশতলক