সমীকরণ সমাধানের বিগত পর্বগুলোয় আমরা একটি বা দুইটি অজ্ঞাত চলক খুঁজেছি। আজকের পর্বে আমরা একেবারে চারটি অজ্ঞাত চলক খুঁজব! আগে সমস্যাটা একটু দেখে নাও।
এই সমস্যা বা অঙ্কটা দেখতে একদম পাজলের মতো, তা–ই না? তৃতীয়-চতুর্থ শ্রেণিতে এমন অঙ্ক আমরা করেই এসেছি। কোনো একটা সংখ্যার জায়গায় এমন সব ফাঁকা ঘর দিয়ে বলা হতো, কোন সংখ্যা বসালে গাণিতিক বাক্যটি সত্য হবে? কিন্তু তোমাকে এখন দেওয়া অঙ্কটায় দেখো; যেদিকে তাকাও, সেদিকেই ফাঁকা ঘর! এটা দেখতে যেমন মজার, করতেও! আগে একটু নিজে চেষ্টা করো। তারপর আমার সঙ্গে মেলাও।
প্রথমেই অঙ্কটাকে একটু সহজ করে নিতে হবে। ছোটবেলায় আমরা গাণিতিক বাক্যে খালি ঘরের ভেতরের সংখ্যা বের করতাম আর এখন সমীকরণ থেকে অজ্ঞাত রাশির মান। কাজ কিন্তু একই, শুধু বয়স বাড়ার সঙ্গে সঙ্গে নামগুলো একটু উন্নত হয়েছে আরকি!
প্রথম সারির প্রথম কলামে থাকা ঘরটাকে a, দ্বিতীয় কলামের ঘরটাকে b, দ্বিতীয় সারির প্রথম কলামের ঘরটাকে c, দ্বিতীয় কলামের ঘরটাকে বলব d! ছবিতে দেখে নাও আরও ভালোভাবে বোঝার জন্য।
নতুন নাম তো দিয়ে ফেললাম। এখন সমীকরণগুলো বানিয়ে ফেলি চলো!
আমাদের সমীকরণগুলো হলো,
∎ অনুভূমিক বরাবর ওপরের সারি থেকে, a + b = 8 …(1)
∎ অনুভূমিক বরাবর নিচের সারি থেকে, c - d = 6 …(2)
∎ উল্লম্ব বরাবর প্রথম কলাম থেকে,
a + c =13 …(3)
∎ উল্লম্ব বরাবর দ্বিতীয় কলাম থেকে,
b + d = 8 …(4)
এবার সমাধানের পালা। তবে এখানে দেখানো সমাধানের পদ্ধতিটাই কিন্তু একমাত্র সমাধান পদ্ধতি নয়। তোমরা একটু চিন্তা করলেই দেখবে, শুধু কিছুটা বীজগণিত ব্যবহার করেই আরও নানাভাবে এই সমস্যার সমাধান করা যায়।
এখন সমীকরণ চারটি লক্ষ করে দেখো।
1 আর 4 নম্বর সমীকরণের ডানপক্ষ কিন্তু সমান অর্থাৎ, এদের বামপক্ষ সমান।
তাহলে বলাই যায় যে, a + b = b + d। আবার, এদের উভয়ের সঙ্গেই কিন্তু b আছে যোগ আকারে। তাহলে উভয় পক্ষ থেকে b কে সরিয়ে দিলে বা বিয়োগ করলে তেমন কোনো সমস্যা হওয়ার কথা নয়।
তাহলে বলা যায়, a = d …(5)
আমাদের হাতে অব্যবহৃত সমীকরণ হিসেবে (2) আর (3) এখনো আছে। এদের ডানপক্ষ যদিও সমান নয়, কিন্তু বামপক্ষে উভয়ের সঙ্গেই c আছে যোগ আকারে। এমন অবস্থা থেকে পরিত্রাণের উপায় হলো প্রতিস্থাপন পদ্ধতি প্রয়োগ করে সদৃশ অংশকে গায়েব করে দেওয়া। তাহলে সেটাই করে ফেলি!
3 নম্বর সমীকরণ থেকে 2 নম্বর সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(a + c)-(c - d) = 13 -6
বা, a + c - c + d = 7 বা, a + d = 7
আমরা একটু আগেই বের করেছিলাম a = d। তাহলে, d এর জায়গায় a লিখতেই পারি। তুমি চাইলে a এর জায়গায় d লিখলেও কিন্তু সমস্যা নেই!
a + d = 7
বা, a + a = 7
বা, 2a = 7
বা, a = 7/2 = 3.5
যেহেতু a = d, ফলে বলা যায় d = 3.5 ।
আমার কাছে এখন a ও d এর মান আছে। আমি এদের কাজে লাগিয়ে সহজেই (1) কিংবা (4) থেকে b কে, আর (2) কিংবা (3) থেকে c কে বের করে ফেলতে পারি! তোমার পছন্দমতো সমীকরণ ব্যবহার করতে পারো। আমার 1 ও 2 অঙ্ক দুটি দারুণ পছন্দ। ভাবছি এই দুটো দিয়েই সমাধান বের করব।
1 নম্বর সমীকরণ থেকে,
a + b = 8 বা, b = 8 - a
আমরা তো জানি a = 3.5,
তাহলে, b = 8 - 3.5 = 4.5
আরেকটা অজানা রাশি বা খালি ঘরের মান জানা বাকি! চলে যাই (2) নম্বর সমীকরণের কাছে!
2 নম্বর সমীকরণ থেকে পাই,
c – d = 6 বা, c = d +6
আমরা তো জানি d = 3.5 তাহলে,
c = 6 + 3.5 = 9.5
দেখেছ তো, চারজনকেই পেয়ে গেলাম! এবার একটু একসঙ্গে সবাইকে লিখি।
নির্ণেয় সমাধান: a = 3.5, b = 4.5,
c = 9.5, d = 3.5।
ছবিতে মিলিয়ে নাও সমাধান ঠিকঠাক আছে কি না।