গণিত

অধ্যায়-১০ (জ্যামিতি)

প্রিয় শিক্ষার্থী, আজ অধ্যায় ১০ (জ্যামিতি) থেকে একটি সৃজনশীল নমুনা প্রশ্ন ও তার উত্তর নিয়ে আলোচনা করব। তোমরা নিশ্চয়ই মনোযোগসহকারে অনুশীলন করবে।

প্রশ্ন:
একটি বোর্ডে O সমকেন্দ্রিক দুটি বৃত্ত ABC এবং DEF
আঁকা হলো। অঙ্কিত বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 8 সেমি. এবং
5 সেমি.। প্রতি বর্গ সেমি. লাল রং করতে খরচ হয় 3 টাকা।
ক) DEF বৃত্তের পরিধি নির্ণয় করো।
খ) বৃত্তদ্বয়ের পরিধির মধ্যবর্তী এলাকায় লাল রং করতে খরচের পরিমাণ
নির্ণয় করো।
গ) প্রমাণ করো যে AD = BE.

সমাধান: (ক) দেওয়া আছে,
DEF বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 5 সেমি.
DEF বৃত্তের পরিধি = 2pr সেমি.
= 2×3.1416×5 সেমি.; [p = 3.1416 ধরে]
= 31.416 সেমি. (প্রায়)।
[জেনে রাখো: বৃত্তের পরিধির সূত্র লিখতে পারলে ১ নম্বর এবং বৃত্তের পরিধি নির্ণয় করতে পারলে ২ নম্বর পাবে।]

সমাধান: (খ) দেওয়া আছে,
DEF বৃত্তের ব্যাসার্ধ r1= 5 সেমি.
DEF বৃত্তের ক্ষেত্রফল = pr12 = বর্গ সেমি.
= 3.1416×(5)2 বর্গ সেমি.
= 3.1416×25 বর্গ সেমি.
= 78.54 বর্গ সেমি. (প্রায়)।
ABC বৃত্তের ব্যাসার্ধ r2= 8 সেমি.
ABC বৃত্তের ক্ষেত্রফল = pr22 বর্গ সেমি.
= 3.1416×(8)2 বর্গ সেমি.
= 3.1416×64 বর্গ সেমি.
= 201.06 বর্গ সেমি. (প্রায়)।
বৃত্তদ্বয়ের পরিধির মধ্যবর্তী এলাকার ক্ষেত্রফল
= (201.06 - 78.54) বর্গ সেমি. (প্রায়)
= 122.52 বর্গ সেমি. (প্রায়)।
প্রতি বর্গ সেমি. লাল রং করতে খরচ হয় 3 টাকা।
বৃত্তদ্বয়ের পরিধির মধ্যবর্তী এলাকায় লাল রং করতে খরচ হয় = (122.52×3) টাকা
= 367.56 টাকা।
[জেনে রাখো: বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র লিখতে পারলে ১ নম্বর, বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারলে ২ নম্বর, বৃত্তদ্বয়ের পরিধির মধ্যবর্তী এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারলে ৩ নম্বর এবং লাল রং করতে খরচ নির্ণয় করতে পারলে ৪ নম্বর পাবে।]

সমাধান: (গ)
বিশেষ নির্বচন:
দেওয়া আছে, O সমকেন্দ্রিক দুটি বৃত্ত ABC এবং DEF. বৃহত্তর বৃত্তের
AB জ্যা ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে D ও E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AD = BE.

অঙ্কন: O বিন্দু হতে AB এর ওপর OM লম্ব অঙ্কন করি।
প্রমাণ: O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তে AB ব্যাস ভিন্ন একটি জ্যা এবং কেন্দ্র O থেকে AB এর ওপর OM লম্ব।
AM = BM ........(i) [বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাসভিন্ন যেকোনো জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।]
আবার, O কেন্দ্রবিশিষ্ট DEF বৃত্তে DE ব্যাস ভিন্ন একটি জ্যা এবং কেন্দ্র O থেকে DE এর ওপর OM লম্ব।
DM = EM ........(ii)
(i) নং থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,
AM - DM = BM - EM
AD = BE. (প্রমাণিত)
[জেনে রাখো: সঠিক চিত্র এঁকে অঙ্কন সম্পূর্ণ করতে পারলে ১ নম্বর, AM = BM নির্ণয় করতে পারলে ২ নম্বর, DM = EM নির্ণয় করতে পারলে ৩ নম্বর এবং প্রমাণ সম্পূর্ণ করতে পারলে ৪ নম্বর পাবে।]

মাস্টার ট্রেইনার
সহকারী শিক্ষক
উদয়ন উচ্চমাধ্যমিক বিদ্যালয়, ঢাকা