গণিত ইশকুল | ন্যাগেলে গলাই নাক

সবার আগে একটি কাঠখোট্টা সংজ্ঞা জেনে নিই—

ন্যাগেল পয়েন্ট: কোনো ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের ওপর অঙ্কিত বহিবৃত্তত্রয় যে তিনটি বিন্দুতে ত্রিভুজের বাহু তিনটিকে স্পর্শ করে ওই বিন্দু তিনটিকে তাদের বিপরীত শীর্ষের সাথে জোড়া লাগানো হলে যে তিনটি রেখাংশ পাওয়া যায় তারা একটি বিন্দু দিয়ে যায়। এই বিন্দুটিকে ন্যাগেল পয়েন্ট বলে।

সংজ্ঞা বুঝতে মস্তিষ্কের স্নায়ুকোষে প্যাঁচ লাগলে চিত্রটি দেখে বুঝে নাও!

এখন আমরা খুবই চমৎকার একটি সম্পর্ক প্রমাণ করব। সম্পর্কটি প্রমাণ শেষ হবার পর দেখবে ভেতরে কেমন যেন একটা খুশি খুশি লাগবে। এই খুশি খুশি ভাবের সাথে ন্যাগেল পয়েন্টের ওপর কয়েকটি সমস্যা সমাধান করতে পারলে ভালো লাগাটা ভালোবাসায় রূপান্তরিত হবে। চলো উপপাদ্য কী বলে তা জেনে নিই।

“প্রমাণ করো যে, যেকোনো ∆ABC এর অন্তঃকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র G এবং ন্যাগেল পয়েন্ট N সমরেখ”

প্রমাণ:

ধরি, ∆ABC এর প্রতিটি বাহুর মধ্যবিন্দুগুলো নিয়ে গঠিত ত্রিভূজ ∆A’B’C’।
∆ABC এর অন্তঃবৃত্ত হলো PQR। A ও N, B ও N এবং C ও N কে যোগ করে বিপরীত বাহু পর্যন্ত বর্ধিত করি এবং যথাক্রমে Pa, Pb, Pc বিন্দুত্রয় পাই। তাহলে ন্যাগেল পয়েন্টগামী তিনটি শেভিয়ান (Cevian) হবে APa, BPb এবং CPc।

Ø দিয়ে আমরা ∆ABC এর হোমোথেসি ∆A’B’C’ এবং w দিয়ে I বিন্দুর হোমোথেটি Ia বুঝাব। শেষের হোমোথেসিটি অন্তর্বৃত্ত হতে বহির্বৃত্তে হবে।

আচ্ছা, তোমাদের অনেকেরই হয়তো হোমোথেটি শব্দটি শুনে মগজে ঠোকাঠুকি শুরু হয়ে গেছে। ভয়ের কিচ্ছু নেই, জিনিসটা আসলে সোজা। গণিতে, একটি হোমোথেটি (বা হোমোথেসি) একটি স্থানের রূপান্তর যা একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের সাপেক্ষে পুরো চিত্রের পরিসীমার প্রতিটি বিন্দুর দূরত্ব ছোট–বড় করে হয়। একটি হোমোথেটি একটি বৃদ্ধি হতে পারে (ফলে চিত্রটি বৃহত্তর হয়), একটি পরিচয় রূপান্তর (ফলে চিত্রটি একত্রিত হয়) বা সংকোচন (ফলে চিত্রটি ছোট) হতে পারে। যেমন: মনে করো একটি ছবিকে তুমি ৮০ শতাংশ থেকে ১০০ শতাংশে জুম করলে। তাহলে চিত্রটির কেন্দ্রের সাপেক্ষে বড় চিত্র ও ছোট চিত্রটা পরস্পরের হোমোথেটি!

এখানে লক্ষণীয়, A হলো হোমোথেসির কেন্দ্র যেখানে এই কেন্দ্রের সাপেক্ষে অন্তর্বৃত্ত আর বহির্বৃত্ত হলো হোমোথেটিক অর্থাৎ অন্তর্বৃত্তকে কেন্দ্র A এর সাপেক্ষে আস্তে আস্তে রূপান্তর এর মাধ্যমে বড় করলে সেটি বহিবৃত্তে পরিণত হবে। এখন মনে করি, বহির্বৃত্তটি BC কে Pa বিন্দুতে স্পর্শ করে। প্রথমে ধরি PQR বৃত্তকে APa, X বিন্দুতে ছেদ করে।
w এর প্রদত্ত সংজ্ঞা হতে এটি স্পষ্ট যে I হতে X এ অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শক BC এর সমান্তরাল হবে। অর্থাৎ XP হল অন্তবৃত্তের ব্যাস।

PPa এর মধ্যবিন্দু ছিল A’, যার মানে ∆PXPa এর হোমোথেটিক হলো ∆PIA’। অর্থাৎ IA ও PaX রেখা পরস্পর সমান্তরাল।
হোমোথেটি Ø অনুসারে APa হচ্ছে IA’ এর প্রতিচ্ছবি।
প্রতিটি শেভিয়ান APa, BPb ও CPc এর জন্যই এটি সত্যি। সেই হিসাবে N হচ্ছে I এর প্রতিচ্ছবি!

সুতরাং, I,G ও N সমরেখ হবে এটা আমরা প্রমাণ করে ফেললাম!

এখন তোমাদের কাজ এই মজার প্রমাণটি দেখা আর তারপর উপপাদ্যটি ব্যবহার করে বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা অনুশীলন!

তোমাদের বহিবৃত্তের স্পর্শ বিন্দুগুলো ঠিক ঠিক মিলে যাক! দেখা হবে!