সেই ম্যাজিক সংখ্যাটি কত?

একটি মজার ধাঁধা দেখুন। যদি তিনটি ধারাবাহিক (ক্রমিক) ধনাত্মক পূর্ণ স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল ও গুণফল একই হয়, তাহলে সংখ্যাগুলো কত? এই প্রশ্নের সমাধানের জন্য আমরা ধরে নেব সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ক, (ক - ১) ও (ক + ১)। এই তিনটি সংখ্যার যোগফল = ক + (ক - ১) + (ক + ১) = ৩ক। আবার এদের গুণফল যেহেতু একই, তাই [ক × (ক - ১) × (ক + ১)] = ৩ক। অর্থাৎ [ক(ক^২ - ১)] = ৩ক। ক–এর মান যেহেতু ঋণাত্মক হতে পারবে না, তাই ক^২ = (৩ + ১) = ৪। এখন আমরা সহজেই উত্তর বের করতে পারি। উত্তর হলো ক = ২। সুতরাং সংখ্যা তিনটি হলো ১, ২ ও ৩। এদের যোগফল = (১ + ২ + ৩) = ৬ এবং গুণফল = ১   × ২ × ৩ = ৬।

আরেকটি মজার অঙ্ক দেখুন। পাঁচটি ধারাবাহিক সংখ্যার যোগফল যদি ৫০ হয়, তাহলে সংখ্যাগুলো কত? এখানে আমরা আগের মতোই ধরে নিই সংখ্যাগুলো যথাক্রমে (ক - ২), (ক - ১), ক, (ক + ১) ও (ক + ২)। এদের যোগফল = [(ক - ২) + (ক - ১) + ক + (ক + ১) + (ক + ২)] = ৫ক = ৫০। তাহলে ক = ১০। সুতরাং সংখ্যাগুলো ৮, ৯, ১০, ১১ ও ১২। আসুন মিলিয়ে দেখি। সংখ্যাগুলোর যোগফল = (৮ + ৯ + ১০ + ১১ + ১২) = ৫০। এটাই তো ছিল শর্ত।

এ সপ্তাহের ধাঁধা
গণিতে আমরা প্রধানত সংখ্যা নিয়ে কাজ করি। অনেক সময় জটিল হিসাব করতে হয়। যেমন: এর আগে আমরা দেখেছি ২৬ এমন একটি বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সংখ্যা, যা একটি পূর্ণ বর্গসংখ্যার চেয়ে ১ বেশি ও পূর্ণ ঘন সংখ্যার চেয়ে ১ কম। অর্থাৎ, [(৫)^২ + ১] = ২৬ = [(৩)^৩ - ১]। এখন বলুন তো, ধারাবাহিক তিন অঙ্কের কোন সংখ্যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যার চেয়ে ২ বেশি এবং একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যার চেয়ে ২ কম?

একটু চিন্তা করলেই উত্তর পেয়ে যাবেন। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা [email protected] ই–মেইলে উত্তর পাঠিয়ে দিন।

গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: ২ এবং চারটি ৬, অর্থাৎ ২, ৬, ৬, ৬, ৬—এই পাঁচটি অঙ্ক দিয়ে কতটি পৃথক সংখ্যা লেখা যায়?

উত্তর
মোট পাঁচটি পৃথক সংখ্যা লেখা যাবে। সংখ্যাগুলো হলো ২৬৬৬৬, ৬২৬৬৬, ৬৬২৬৬, ৬৬৬২৬ ও ৬৬৬৬২
প্রায় সবাই সঠিক উত্তর দিয়েছেন। সবাইকে ধন্যবাদ।

কীভাবে উত্তর বের করলাম
এর উত্তরের জন্য আমাদের যুক্তিটি হলো, ২–কে আমরা পাঁচ অঙ্কের সংখ্যার পাঁচটি স্থানের যেকোনো একটি স্থানে স্থাপন করতে পারি। মানে ২–কে পাঁচভাবে স্থাপন করা যায়। এদের প্রতিটি স্থানের সঙ্গে ৬–এর অবস্থান শুধু একভাবেই হতে পারে। কারণ, যেহেতু অঙ্কগুলো অভিন্ন, সব কটিই শুধু ৬, তাই ওদের অবস্থান আগে-পরে, যা-ই হোক না কেন, সংখ্যা একই থাকবে। অর্থাৎ মোট সংখ্যা হবে (৫ × ১) = ৫ । অন্যভাবে আমরা বলতে পারি, ২ ছাড়া বাকি চারটি অঙ্ক যদি অভিন্ন ৬ না হয়ে প্রতিটি পৃথক অঙ্ক হতো, তাহলে পারমুটেশনের নিয়ম অনুযায়ী অন্য অঙ্কগুলোর মধ্যে ২–কে বিভিন্নভাবে বসিয়ে আমরা ৫! (ফ্যাকটোরিয়াল ৫)টি পৃথক সংখ্যা পেতাম। কিন্তু যেহেতু বাকি চারটি অঙ্ক অভিন্ন ৬, তাই পৃথক সংখ্যা হবে = (৫! / ৪!) = ৫টি।

সম্পাদক, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তা