আঞ্চলিক গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি

চলতি মাসের শেষ সপ্তাহে শুরু হচ্ছে একাদশ বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াডের আঞ্চলিক পর্ব। অলিম্পিয়াডে ভালো করতে হলে চাই প্রচুর অনুশীলন। প্রস্তুতি পর্বেএবার আলোচনা করা হলো জুনিয়র ক্যাটাগরি নিয়েআঞ্চলিক অলিম্পিয়াডে যে ক্যাটাগরিটিতে প্রস্তুতি নিতে গিয়ে সবচেয়ে বেশি সিলেবাস-সংক্রান্ত জটিলতায় পড়তে হয়, সেটি হলো জুনিয়র ক্যাটাগরি। প্রস্তুতি নেওয়ার সময় কোন বিষয়গুলো পড়ব, কোন বিষয় বেশি করে চর্চা করব, এসব নিয়ে অনেক শিক্ষার্থী সন্দিহান থাকে। এখানে জুনিয়র ক্যাটাগরির জন্য প্রস্তুতির বিষয়গুলো নিয়েই আলোচনা করা হবে। সঙ্গে কিছু নমুনা সমস্যা দেখানো হবে।বেশি করে জ্যামিতি-চর্চাআন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াডে বাংলাদেশ দল মূলত জ্যামিতি-সংক্রান্ত সমস্যা সমাধানের ওপর বেশি জোর দেয়। আর জ্যামিতি-সংক্রান্ত সমস্যা সমাধানের সিঁড়ির প্রাথমিক ধাপ জুনিয়র পর্যায় থেকে শুরু হয়। এই পর্যায়ে মূলত ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ওপর জোর বেশি দিতে হবে। এর জন্য সমান্তরাল সরলরেখার ধর্ম, ত্রিভুজের সর্বসমতা, সদৃশ ত্রিভুজের ধর্ম, ত্রিভুজ, বৃত্ত ও চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা, পিথাগোরাসের উপপাদ্য-সংক্রান্ত সমস্যা চর্চা করতে হবে। এবার কিছু নমুনা সমস্যা দেখা যাক—(১) DABC এর B শীর্ষ হতে AC এর সমান্তরাল করে BE রেখাংশ অঙ্কন করা হলো, যেন BE=BC হয়। C বিন্দু থেকে AB এর সমান্তরাল করে CD রেখাংশ অঙ্কন করা হলো, যেন CD=AC হয়। D এবং E, AC এর ভিন্ন ভিন্ন পাশে অবস্থান করে। C, D, E সমরেখ হলে ADC - 1/4 ACBএর মান কত?সমাধান: এ ক্ষেত্রে একটা ব্যাপার লক্ষণীয়, এই সমস্যার সঙ্গে কোনো চিত্র দেওয়া ছিল না। তাই জ্যামিতির প্রস্তুতির সময় অবশ্যই সমস্যার বর্ণনা অনুযায়ী যথাযথ চিত্র অঙ্কনের চর্চা করতে হবে। এবার সমস্যাটি সমাধানের দিকে আগানো যাক।A, D যোগ করি। ABEC চতুর্ভুজে AB || CE (যেহেতু AB || CD এবং C, D, E সমরেখ) এবং AC || BE. সুতরাং ABEC একটি সামন্তরিক।সুতরাং AC=BE=BC; BCE=একান্তরABC|ACB এ AC=BC হওয়ায় ABC=BAC।আবার AB || CD এবং AC এদের ছেদক হওয়ায় ACD=একান্তরBAC।ACD এ AC=CD হওয়ায় DAC=ADC।সুতরাং 2ADC=180 - ACDবা, 4ADC=360 - 2ACDবা, 4ADC=180+180 - (ACD +ACD)বা, 4ADC=180+180 - (ACD+BCE); [যেহেতু, ACD=BAC=ABC=BCE]বা, 4ADC=180+ACB; [যেহেতু, C বিন্দুতে ACD+ACB+BCE=180]সুতরাং ADC - 1/4 ACB=45°কিছু সমস্যা নিচে দেওয়া হলো নিজে নিজে সমাধানের চেষ্টা করার জন্য।(২) ABC সমকোণী ত্রিভুজে B=90° এবং AB  BC। D, E বিন্দুদ্বয় BC কে এবং F, G বিন্দুদ্বয় AB কে সমত্রিখণ্ডিত করে, যেখানে BD < BE এবং BF < BG। FQ ও GP, AB এর ওপর এবং DQ ও PE, BC এর ওপর লম্ব। QP, AC কে X বিন্দুতে ছেদ করে। যদি AC/AX + PX/PQ=a/b হয় যেখানে a এবং b দুটি মৌলিক সংখ্যা, তাহলে a+b এর মান কত?(৩) একটি বৃত্তের দুটি জ্যা পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করে। একটি জ্যা এর দুটি অংশের দৈর্ঘ্য হয় x এবং x+5, অপর জ্যা এর দুটি অংশের দৈর্ঘ্য হয় x+1 এবং 6। বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে জ্যাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর দূরত্বকে a/b আকারে লেখা যায়, যেখানে a এবং b দুটি মৌলিক সংখ্যা। a+b এর মান কত?(৪) ABC ত্রিভুজে A = 90°। BC এর ওপর P একটি বিন্দু। AB এবং AC এর ওপর যথাক্রমে PQ এবং PR লম্ব আঁকা হলো, Q এবং R যথাক্রমে AB এবং AC এর ওপর অবস্থিত। যদি BQ.QA=20 এবং AR.RC=12 হয়, তাহলে BP.PC এর মান কত?সংখ্যাতত্ত্বের মৌলিক ধারণার প্রয়োগজুনিয়র ক্যাটাগরির সংখ্যাতত্ত্ব-সংক্রান্ত সমস্যাগুলোতে শিক্ষার্থীদের সংখ্যাতত্ত্বের মৌলিক ধারণার প্রয়োগের ক্ষমতা যাচাই করা হয়। মৌলিক সংখ্যা, বিভাজ্যতা, লসাগু, গসাগু, সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক, গড়, ভাগশেষের ধারণা—এগুলো সংখ্যাতত্ত্বের মৌলিক ধারণার অন্তর্ভুক্ত। এগুলো শুধু জানলেই চলবে না, এসব ধারণা প্রয়োগ করে সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করতে হবে। আবারও কিছু নমুনা সমস্যা দেখা যাক—(১) একটি তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাকে 100 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 35 হয়। সংখ্যাটি 15 দ্বারা বিভাজ্য এবং কোনো বর্গসংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়। সংখ্যাটি কত?সমাধান: যেহেতু তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটিকে 100 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 35 হয়, সেহেতু ওই তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার শেষের অঙ্ক দুটি যথাক্রমে 3, 5 অর্থাৎ সংখ্যাটি ‘A35’ ধরনের। এখানে A,1 হতে 9 পর্যন্ত যেকোনো অঙ্ক হতে পারে, যা আমাদের নির্ণয় করতে হবে। এখন যেহেতু A35, 15 দ্বারা বিভাজ্য, তাই সংখ্যাটির দুটি মৌলিক উৎপাদক হবে 3, 5। যেহেতু সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক 5, তাই সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদক 2 হতে পারবে না। আবার সংখ্যাটি কোনো বর্গসংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাই এর উৎপাদকে একাধিক 3, 5 বা অন্য কোনো মৌলিক সংখ্যা একাধিকবার থাকতে পারবে না। এখন সংখ্যাটির আর একটিমাত্র মৌলিক উৎপাদক থাকতে পারবে, কারণ 3, 5 থেকে বড় একাধিক মৌলিক উৎপাদক থাকলে তা চার অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা হবে। তাহলে অপর মৌলিক উৎপাদকটি অবশ্যই দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা হবে এবং তার একক ঘরের অঙ্ক 9 হতে হবে। কারণ, সংখ্যাটি A35 ধরনের এবং 915=135 (9 ছাড়া অন্য কোনো অঙ্ক থাকলে কেন হবে না, তা চিন্তা করে দেখো)। আবার অপর মৌলিক উৎপাদকটির দশক ঘরের অঙ্ক এমন হতে হবে, যেন একে 15 দ্বারা গুণ করলে গুণফলের দশক ঘরের অঙ্ক ‘0’ হয়। অর্থাৎ সেই মৌলিক উৎপাদকটি হলো 29 আর নির্ণেয় সংখ্যাটি 1529=435।এবার তোমাদের পালা—(২) দুটি সংখ্যার লসাগু এদের গসাগুর 6 গুণ এবং এদের গুণফল 54। এদের কোনোটিই তাদের লসাগু কিংবা গসাগুর সমান নয়। সংখ্যা দুটির যোগফল কত?(৩) একটি বাক্সে কয়েকটি নুড়ি পাথর আছে। সেগুলোর প্রতিটির ওজন একেকটি পূর্ণসংখ্যা (গ্রাম এককে), যেকোনো দুটি পাথরের ওজন ভিন্ন এবং সেগুলোকে দাঁড়িপাল্লার এক পাশে ব্যবহার করে 2012 গ্রাম পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যার যেকোনো ওজন মাপা সম্ভব। বাক্সে থাকা সবচেয়ে ভারী পাথরটার ওজন কত গ্রাম?(৪) একটি ক্লাসের ছাত্রদের টোকেন দেওয়া হচ্ছে। ক্লাসের প্রথম ছাত্রটিকে 1লেখা একটি টোকেন দেওয়া হয়েছে। পরের দুজনকে দেওয়া হয়েছে 3 লেখা টোকেন, তার পরের তিনজনকে দেওয়া হয়েছে 5 লেখা টোকেন, এভাবে বাকিদেরও টোকেন দেওয়া হলো। একটি অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা লেখা টোকেন পেয়েছে, এমন শেষ ছাত্রটির রোল নম্বর কত?কম্বিনেটরিকসও থাকবে চর্চার মধ্যেকম্বিনেটরিকসের যোগের ও গুণের ধারণার প্রয়োগ করে সমস্যার সমাধান করতে হয়, এমন ধরনের সমস্যা জুনিয়র ক্যাটাগরিতে থাকে। কখনো এর সঙ্গে সংখ্যাতত্ত্বের ধারণাও প্রয়োগ করতে হয়। কম্বিনেটরিকসের যোগের ও গুণের ধারণা মোটামুটি সবারই জানা আছে, তবে এসব সমস্যা সমাধানের জন্য চর্চার বিকল্প নেই। আবারও কিছু নমুনা সমস্যা দেখা যাক—(১) তোমরা চারজন বন্ধু মিলে রসগোল্লা খাবে। একজন সর্বোচ্চ একটি রসগোল্লা খেতে পারবে, তবে চাইলে সে কোনো মিষ্টি না-ও খেতে পারে। মোট কতভাবে তোমরা মিষ্টি খেতে পারবে?সমাধান: এ ক্ষেত্রে চারজনের প্রত্যেকের ক্ষেত্রে দুটি ঘটনা ঘটতে পারে, অর্থাৎ সে মিষ্টি খেতে পারে বা না-ও পারে। অর্থাৎ যেকোনো তিনজনের একটি নির্দিষ্ট ঘটনার বিন্যাসের জন্য চতুর্থ জন খেতে পারে বা না-ও পারে। এখন একটু খেয়াল করলে দেখবে যে মোট 2222=16 রকম ঘটনা ঘটতে পারে।কিছু সমস্যা থাকল বাসায় চর্চার জন্য—(২) একটি সেমিনারে কয়েকজন গণিতবিদ লেকচার দেবেন। প্রতিদিন দুজন গণিতবিদ লেকচার দেবেন, তবে দুজন গণিতবিদ একই সঙ্গে এক দিনের বেশি লেকচার দিতে পারবেন। সেমিনারটি 6 দিন ধরে চলবে। সেমিনারে কমপক্ষে কতজন গণিতবিদ থাকতে হবে?(৩) দুটি ছক্কার ঘুঁটি চালা হলো। এদের প্রথমটিতে পড়া সংখ্যাকে লব এবং পরেরটিতে পড়া সংখ্যাটিকে হর ধরে ভগ্নাংশ তৈরি করা হবে। লব-হরে কাটাকাটি করা গেলে সেটা করা হবে। এভাবে কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন প্রকৃত ভগ্নাংশ তৈরি করা যাবে?(৪) পাশাপাশি থাকা 10টি বাক্সে সাদা কিংবা কালো বল রাখতে হবে, যেন পরপর তিনটি ঘরে দুটি কালো আর একটি সাদা বল সব সময় থাকে। কতভাবে এটা করা সম্ভব?গণিত অলিম্পিয়াডে ভালো করার জন্য যে গুণটি সবচেয়ে বেশি জরুরি, তা হলো ‘লেগে থাকা’। সবার জন্য শুভকামনা।তুষার চক্রবর্তী 