গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-১৮)

∆ABC ত্রিভুজে E ও F বিন্দুদ্বয় BC বাহুকে সমান তিনভাগে ভাগ করে। M ও N যথাক্রমে AB ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু। EFQP চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল 12 বর্গএকক হলে, ∆ABC–এর ক্ষেত্রফল বের করো।

সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমরা তিনটি উপপাদ্য সম্পর্কে জানব।

i) ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।

ii) কোনো ত্রিভুজের যেকোনো একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় একটি বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং ত্রিভুজের বাহুগুলির দ্বারা সমান্তরাল সরলরেখার খণ্ডিতাংশ দ্বিতীয় বাহুর অর্ধেক হবে।

(iii) দুইটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত তাদের যেকোনো অনুরূপ দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাতের সমান।

(ii) অনুযায়ী— P ও Q বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে AE ও AF–এর মধ্যবিন্দু।

আবার, (i) অনুযায়ী— MP = ½ × BE, PQ = ½ × EF এবং QN = ½ × FC।

যেহেতু BE = EF = FC, সেহেতু MP = PQ = QN।

BE = EF = FC এবং ∆ABE, ∆AEF ও ∆AFC ত্রিভুজত্রয়ের উচ্চতা একই হওয়ায়, [∆ABE] = [∆AEF] = [∆AFC]।

আবার, MP = PQ = QN এবং ∆APQ, ∆AMP ও ∆AQN ত্রিভুজত্রয়ের উচ্চতা একই হওয়ায়, [∆APQ] = [∆AMP] = [∆AQN]।

এখন, [EFQP] = [∆AEF] – [∆APQ]

বা, 3[EFQP] = 3[∆AEF] – 3[∆APQ]        [3 দ্বারা গুণ করে]

বা, 3[EFQP] = [∆ABC] – [∆AMN]

বা, 3[EFQP] = [∆ABC] – [∆AMN]   

যেহেতু ∆ABC ~ ∆AMN, সেহেতু (iii) অনুযায়ী পাই—

[∆ABC]/[∆AMN] = BC²/MN²

বা, [∆ABC]/[∆AMN] = (2MN)²/MN²        [(i) অনুযায়ী]

বা, [∆ABC]/[∆AMN] = 4  

বা, [∆AMN] = [∆ABC]/4     

∴ 3[EFQP] = [∆ABC] – [∆ABC]/4

বা, 3 × 12 = 3[∆ABC]/4

বা, [∆ABC] = (3 × 4 × 12)/3

∴ [∆ABC] = 48

সুতরাং, ∆ABC–এর ক্ষেত্রফল 48 বর্গএকক।