গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-১৫)

∆ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 1 একক এবং AOB, BOC ও COA বৃত্তচাপ তিনটি ত্রিভুজের কেন্দ্রে O বিন্দুতে মিলিত হয়। চাপগুলো দ্বারা গঠিত পাতার মতো অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি বের করো

O, ∆ABC-এর কেন্দ্র বা পরিকেন্দ্র। তাহলে, O থেকে BC-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব BC-কে সমদ্বিখণ্ডিত করবে। মনে করি, O থেকে BC-এর ওপর লম্ব OE। তাহলে, BE = CE = BC/2 = 1/2। OE-কে F পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন OB = OF হয়। B, F ও C, F যোগ করি। তাহলে চিত্রটি হবে—

এখন, যেহেতু ∆ABC সমবাহু ত্রিভুজ এবং  O, ∆ABC-এর কেন্দ্র বা পরিকেন্দ্র, সেহেতু ∆OAB ≅ ∆OBC ≅ ∆OAC।

∴ OA = OB = OC … … … (i)

∠AOB = ∠AOC = ∠BOC = 120°

এবং ∠OBC = ∠OCB = ∠OCA = ∠OAC = ∠OAB = ∠OBA = 30°

এখন, ∆OBF ত্রিভুজে– ∠BOF = 60° এবং OB = OF। তাহলে, ∆OBF একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

∴ OF = OB = BF … … … (ii)

(i) ও (ii) হতে বলা যায়— O, BOC বৃত্তচাপের কেন্দ্র এবং BF বা OF বা CF বৃত্তের ব্যাসার্ধ ।

আবার, ∆OBE ত্রিভুজে— tan(∠OBE) = OE/BE

বা, tan(30°) = OE/BE

বা, 1/√3 = OE/(1/2)

বা, OE = 1/2√3

∴ OF = 1/√3

এখন আমরা মূল সমস্যাটি সমাধানের জন্য একটি সূত্র জানব। সূত্রটি হলো—

একটি জ্যা ও বৃত্তের উপচাপ দ্বারা আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল

= 1/2 × r² × (πθ/180° – sinθ)

যেখানে, r = বৃত্তের ব্যাসার্ধ, θ = উপচাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ।

∴ BO জ্যা ও BO উপচাপ দ্বারা আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল

= 1/2 × (1/√3)² × {(π × 60°)/180° – sin(60°)}

= 1/6 × (π/3 – √3/2)

= π/18 – √3/12

∴ একটি সম্পূর্ণ পাতার ক্ষেত্রফল

= 2 × (π/18 – √3/12)

= π/9 – √3/6

∴ পাতার মতো অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি

= 3 × (π/9 – √3/6)

= π/3 – √3/2