উৎপাদকের রাজ্যে: পর্ব–২

সেদিন সকালে খালেদের সঙ্গে দেখা। ছেলেটা মন খারাপ করে বসে আছে।

আমি ওকে কারণ জিজ্ঞাসা করতে গেলে খালেদ বলল, ‘আজ অলিম্পিয়াড প্রস্তুতির পরীক্ষায় প্রথম প্রশ্নে আমাকে ১৫৭৫০-এর সব উৎপাদকের যোগফল বের করতে দিয়েছিল। কিন্তু ১৫৭৫০ তো অনেক বড় সংখ্যা। সব উৎপাদক বের করার পর যোগ করে মান লিখতে হয়েছিল। আর এই প্রশ্নের সমাধান করতে গিয়ে আমি আর কোনো প্রশ্নের উত্তর করতে পারিনি।’

আমি হাসতে হাসতে বললাম, ‘তুমি গণিত ইশকুলের আগের পর্বটা পড়োনি? ওখানেই তো তোমার ওই সমস্যা সমাধানের অনেকটা ফর্মুলা দেওয়া আছে। আরেকটু চিন্তা করলে ওখান থেকেই তুমি শর্টকাট কোনো উপায় পেয়ে যেতে।’

খালেদ বলল, ‘তুমি বুঝতে পারছ না। আমাদের সব উৎপাদকের যোগফল বের করতে হয়েছিল। উৎপাদক সংখ্যা নয়।’

আমি বললাম, ‘তাহলে এখন তোমাকে যেকোনো পূর্ণসংখ্যার সব উৎপাদকের যোগফল সহজে বের করার সূত্রটাও শেখানো দরকার। কী বলো?’ খালেদ বলল, ‘নিশ্চয়ই, কেন নয়!’

তারপর আমি খালেদকে সূত্রটা শিখিয়ে দিলাম। সূত্রটা শেখানোর সময় মনে হলো, সূত্রটা তোমাদেরও শিখিয়ে দিই, যেন তোমরাও কখনো খালেদের মতো সময় নষ্ট না করো!

উৎপাদক সংখ্যা বের করার প্রথম ধাপ আর সব উৎপাদকের যোগফল বের করার প্রথম ধাপ একই। সংখ্যাটিকে এভাবে প্রকাশ করতে হবে, যেখানে ভিত্তি সংখ্যাগুলো সব কটি ভিন্ন ভিন্ন মৌলিক সংখ্যা এবং সব সূচক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তবে এরপরের ধাপেই যা সামান্য পার্থক্য। ছোট পার্থক্যই।

তোমার সংখ্যাটি যদি  N = p₁ᵃ¹ × p₂ᵃ² × ... × pₖᵃᵏ  আকারের হয়, তবে সূত্রটা হবে এমন:

(p₁⁰ + p₁¹ + p₁² + ... + p₁ᵃ¹) × (p₂⁰ + p₂¹ + p₂² + ... + p₂ᵃ²) × ... × (pₖ⁰ + pₖ¹ + pₖ² + ... + pₖᵃᵏ)

সূত্রটিকে যদি আমরা কথায় প্রকাশ করি, তবে তা হয় অনেকটা এ রকম:

কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের শূন্যতম ঘাত থেকে সর্বোচ্চ ঘাত পর্যন্ত রাশিগুলোর যোগফল নির্ণয় করে প্রাপ্ত যোগফলগুলো পরস্পর গুণ করলেই সব ধনাত্মক উৎপাদকের যোগফল পাওয়া যায়।

উৎপাদক নিয়ে তো প্রচুর কথোপকথন হলো। কিন্তু বাস্তব জীবনে উৎপাদকের কাজ কী, এটা কখনো ভেবেছ? চলো, সেদিকে একটু তাকানো যাক।

আমরা আমাদের জীবনের অধিকাংশ ভাগের সমস্যার হিসাব উৎপাদক বের করেই করি—জেনে বা না জেনে!

টাইলসের কাজ করতে দেখেছ কখনো? বিভিন্ন বিল্ডিংয়ে টাইলসের কাজ হয় না? ওই টাইলস কোথায় কতটা বসাতে হবে, এর হিসাব কিন্তু উৎপাদক ব্যবহার করেই করা হয়।

সহজ উদাহরণ তো বললাম। কিন্তু জটিল জটিল অনেক কাজেও উৎপাদকের ব্যবহার দেখা যায়। যেমন ক্রিপ্টোগ্রাফি (গোপন তথ্য গোপন প্রক্রিয়ায় পাঠানো), কম্পিউটারের ডেটা প্যাকেটিং ইত্যাদি। আর গণিতবিদেরা তো গণিতের গবেষণার কাজে প্রায়ই ব্যবহার করেন!

তোমরা নিজেরাও বিভিন্ন হিসাব–নিকাশ করতে প্রতিনিয়তই উৎপাদক ব্যবহার করে থাকো। একদিন হিসাব করেই দেখো না, এক দিনে তুমি কতবার দৈনন্দিন কাজে (অবশ্যই গণিত বাদে) উৎপাদক ব্যবহার করেছ?

তোমাদের সবার জীবনের গ্রাফের second derivative negative হোক।

(পুনশ্চ, তোমাদের জন্য একটা Home Work রইল! তোমরা এখানে (p₁⁰ + p₁¹ + p₁² + ... + p₁ᵃ¹)  এর মান বের করার চেষ্টা করেছ না? ব্যাপারটা আরেকটু সহজে কীভাবে করা যায়, সেটা নিয়ে একটু চিন্তা কোরো তো! এটা নিয়ে আমরা গণিত ইশকুলের আরেক পর্বে এক দিন আলাপ করব নাহয়!)

উৎপাদক নিয়ে তো অনেক কিছুই জানলে, এবার তোমাদের জন্য গণিত ভাইয়ার প্রশ্ন হলো:

∎ ১৫৭৫০ সংখ্যাটির সব ধনাত্মক উৎপাদকের যোগফল নির্ণয় করো।

∎ একজন রাজমিস্ত্রি ১২ ফুট × ১৮ ফুট আকারের একটি ঘরের মেঝেকে সমান আকারের বর্গাকার টাইলস দিয়ে এমনভাবে ঢাকতে চান, যেন কোনো টাইলস ভাঙতে না হয়।

(ক) সম্ভাব্য বৃহত্তম টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

(খ) মোট কতটি টাইলস লাগবে?

∎ একটি সিকিউরিটি কোড তৈরির জন্য এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা

N নির্বাচন করা হলো, যার উৎপাদকের সংখ্যা ৩টি এবং উৎপাদকগুলোর যোগফল ৩১। সংখ্যাটি কত?

∎ যদি N = 2a×3b হয় এবং N-এর সব উৎপাদকের যোগফল ১২০ হয়, তবে (a, b)-এর মান নির্ণয় করো।

∎ তোমার বিদ্যালয়ের ২৪০ শিক্ষার্থীকে প্যারেডে একটি আয়তাকার দলে সাজাতে হবে।

(ক) সারি ও কলামের সংখ্যা ভিন্ন ধরে মোট কতভাবে শিক্ষার্থীদের সাজানো সম্ভব?

(খ) কলামের সংখ্যা যদি সারির চেয়ে বেশি হতে হয়, তবে এমন সম্ভাব্য বিন্যাস কয়টি?

∎ এমন একটি ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা N নির্ণয় করো, যার ঠিক

৬টি ধনাত্মক উৎপাদক রয়েছে এবং N-এর সব উৎপাদকের যোগফল

S = 124।

∎ একটি কম্পিউটার ডেটা সেন্টারে N গিগাবাইট আকারের একটি ফাইলকে একাধিক সমান সাইজের ডেটা প্যাকেটে ভাগ করতে হবে। নিরাপত্তার জন্য শর্ত দেওয়া হলো:

১. ফাইলের সাইজ N = 2⁴ × 3³ × 5² গিগাবাইট।

২. এমন সব প্যাকেটের সাইজ নির্বাচন করতে হবে, যা N-এর উৎপাদক এবং যার আকার ১ গিগাবাইটের চেয়ে বেশি, কিন্তু N-এর চেয়ে কম।

৩. প্যাকেটের আকার অবশ্যই একটি জোড় সংখ্যা হতে হবে।

এমন সব বৈধ প্যাকেটের আকারের যোগফল কত?

গণিত ভাইয়া

∎    নতুন রূপে নতুন উদ্দীপনায় ফিরছে আমাদের প্রিয় গণিত ইশকুল। শিক্ষার্থীদের মধ্যে গণিতের আনন্দ ছড়িয়ে দিতে আপনার সব গাণিতিক চিন্তাভাবনা, লেখা বা সৃষ্টি পাঠিয়ে দিন আমাদের কাছে।

    email: g[email protected]

    facebook: https://www.facebook.com/PA.GonitIshkul

*সহযোগিতায়: বাংলাদেশ গণিত, অলিম্পিয়াড কমিটি