গত বছরের শুরুর দিকের কথা, সেবার আমাদের স্কুলে আঞ্চলিক গণিত অলিম্পিয়াডের আয়োজন করা হবে। তাই আমাদের স্কুল রঙিন সাজে সেজে উঠেছে। আমরা সবাই কাজের ফাঁকে ফাঁকে বিভিন্ন গণিত সমস্যা নিয়ে আলোচনা করছি। হঠাৎ আনিকা আমাকে ডাক দিয়ে বলল, সে একটা জ্যামিতি সমাধান করতে গিয়ে আটকে পড়েছে। আমি তাকে সমস্যাটা বলার জন্য বললাম।
তারপর সে সমস্যাটা বলা শুরু করল, ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম, যার AB∥DC এবং AD = BC। E ও F যথাক্রমে AD ও BC-এর মধ্যবিন্দু। এখন যদি AC = 2EF, AB = 2 এবং DC = 1 হয়, তাহলে DG-এর মান বের করতে হবে।
তারপর আমি সমস্যাটা ভালোমতো পড়ে আনিকাকে বললাম, চলো দুজন মিলে শুরু থেকে আবার জ্যামিতিটা সমাধান করার চেষ্টা করা যাক। তার আগে চলো প্রশ্নের তথ্য অনুযায়ী একটা সুন্দর চিত্র আঁকা যাক। আমরা নিচের চিত্রের মতো একটা সুন্দর চিত্র আঁকলাম।
তারপর দুজন মিলে ভাবা শুরু করলাম, কীভাবে এগোনো যায়। কিছুক্ষণ পর আমি বললাম, চলো আগে EG ও GF-এর মানটা বের করি। এইটা আমাদের EF-এর মান অর্থাৎ AC-এর মান বের করার পাশাপাশি সমাধানেও একধাপ এগিয়ে নিয়ে যেতে পারে।
তারপর আনিকাকে বললাম, দেখো EF∥DC এবং E ,AD এর মধ্যবিন্দু। তাহলে G হবে AC-এর মধ্যবিন্দু, কেননা একটা বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অতিক্রম তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল রেখাংশ অপর বাহুরও মধ্যবিন্দু দিয়ে যাবে।
আবার আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
∴ EG = ½ × CD = ½ × 1 = ½ , একইভাবে GF = ½ × AB = ½ × 2 = 1
এখন দেখো, AC = 2EF = 2(EG + GF) = 2(½ + 1) = 3
আনিকা হঠাৎ বলে উঠল, রাফসান একটা ব্যাপার খেয়াল করেছ? আমি বললাম কী? তারপর সে বলল, আমাদের DC = 1 দেয়া আছে, আবার GF = 1 পেয়েছি। তাহলে CFGD একটি সামান্তরিক হবে, কেননা চতুর্ভুজের যেকোনো বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল হলে অপর দুই বাহুও সমান ও সমান্তরাল হবে।
বাহ! তুমি তো সমাধান করতে আরও সহজ করে দিলে। এখন আমরা বা -এর মান জানতে পারলে পেয়ে যাব।
চলো দেখি কী উপায়ে বা বের করা যায়। আমার মাথায় তখন একটা আইডিয়া ঘুরপাক খাচ্ছিল।
আনিকাকে বললাম, ধরো আমরা যদি থেকে -এর বর্ধিতাংশের ওপর লম্ব আঁকি এবং এই লম্বের মান বের করি, তাহলে আমরা -এর মান পেতে পারি। আচ্ছা তার আগে চলো আমরা লম্বটা এঁকে ফেলি।
এখন ACM সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই, AC2 = AM2 + CM2
→ AM2 = 32 - (3/2)2
∴ AM = √27/2
আনিকা জিজ্ঞাসা করল, আচ্ছা এখানে CM = 3/2 কীভাবে পেলা ?
ভালো প্রশ্ন। দেখো, এখানে আমরা যদি D ও C বিন্দু থেকে AB-এর ওপর আরও দুইটা লম্ব যথাক্রমে DH ও DH' আঁকি, তখন BH' = AH = MD হবে। কারণ ∆BH'C, ∆ADH ও ∆AMD তিনটাই সমান। কেন সমান, তা তুমি করে দেখো। দাঁড়াও একটু হিন্টস দিই, ‘বাহু-কোণ-বাহু’ উপপাদ্য ব্যবহার করবে।
এখন AB = AH + H'B + HH' = AH + AH + HH' = 2AH + HH'
→ 2 = 2AH + 1
→ AH = ½
তাহলে MD = ½ এবং CD = 1 + ½ = 3/2
আচ্ছা এইবার পরবর্তী ধাপে যাই। আমাদের মোটামুটি দরকারি সব তথ্য পেয়ে গেছি। এখন সবশেষ কাজ AD বের করা।
চিত্রের দিকে তাকিয়ে দেখো, ADM একটি সমকোণী ত্রিভুজ। তাহলে পিথাগোরাস প্রয়োগ করে পাই, AD2 = AM2 + MD2 = (√27/2)2 + (1/2)2 = 7
∴ AD = √7
আবার, E হলো, AD-এর মধ্যবিন্দু। অর্থাৎ DE = ½ × AD = √7/2 = CF। আর CF হলো DG-এর সমান।
অতএব, DG = CF = √7/2
আহ শান্তি! আমরা আমাদের উত্তর অর্থাৎ DG-এর মান অবশেষে পেয়ে গেলাম।