গল্পে গল্পে জ্যামিতি–৬

টিং টং করে কলিং বেল বেজে উঠল। রাফি দরজা খুলে দেখল, ফারিনের শিক্ষক রশ্মি আপু এসেছেন। রশ্মি ঘরে প্রবেশ করেই দেখতে পেলেন, ফারিন খাতা-কলম নিয়ে বসে কী যেন ভাবছে। কাছে গিয়ে দেখলেন, ফারিন একটা জ্যামিতির সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করছে। ফারিন রশ্মিকে দেখে বলল: আপু একটু সাহায্য করবেন? কোনোভাবে এগোতে পারছি না। আচ্ছা, প্রশ্নটা তো আগে পড়ে নিই।

∆ABC একটি ত্রিভুজ, যার BC = a, AC = b, AB = c ,অন্তকেন্দ্র I এবং অর্ধপরিসীমা s। প্রমাণ করতে হবে,

AI.BI.CI = abc/s² × [∆ABC]।

আচ্ছা, এবার প্রশ্নটার দিকে খেয়াল করো। আমাদের AI.BI.CI–এর সঙ্গে ∆ABC–এর ক্ষেত্রফল, অর্ধপরিসীমা s ও বাহুগুলোর সম্পর্ক স্থাপন করতে হবে। আমরা শুরুতে AI বা BI বা CI–কে আলাদাভাবে [∆ABC] বা s–এর মাধ্যমে বের করা যায় কি না, তা চেষ্টা করি। ‘আচ্ছা ফারিন, তুমি কি জানো যে ত্রিভুজের কোণের সমদ্বিখণ্ডকত্রয় যে বিন্দুতে ছেদ করে, তা অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র এবং বৃত্তটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করে?’

জি আপু, জানি।

এখন আমরা ধরি, I কেন্দ্রবিশিষ্ট অন্তর্বৃত্ত BC, AC, AB–কে যথাক্রমে D, E, F বিন্দুতে স্পর্শ করে। I, D; I, E ও I, F যোগ করি। তাহলে ID⊥BC, IE⊥AC, IF⊥AB হবে এবং ধরি, ID = IE = IF = r (অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ)। তাহলে চিত্রটা হবে এমন—

আবার আমরা জানি, বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক টানলে, ওই বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।

তাহলে চিত্র থেকে পাই, AE = AF, BD = BF, CD = CE। এখন আমরা AI বা BI বা CI–কে ব্যাসার্ধ r, অর্ধপরিসীমা s ও ত্রিভুজের বাহুর a, b ও c–এর মাধ্যমে বের করতে পারব। জি আপু। আচ্ছা তাহলে নিচের প্রশ্নের কারণ বলো দেখি।

চিত্রে ∆IAF থেকে পাই, AI² = IF² + AF²

বা, AI = √{r² + (s - a)²} …...(i)

এখানে, AF = s - a হওয়ার কারণ কী?
এটা পারব আপু, কারণ হলো:

s = AF + BD + CD

বা, s = AF + a বা, AF = s - a

একইভাবে, BI = √{r² + (s - b)²} …...(ii)
এবং CI = √{r² + (s - c)²} …...(iii)

বাহ্! ভেরি গুড ফারিন।

এবার [∆ABC] = sr সূত্রটা ব্যবহার করে

r–কে সরানোর চেষ্টা করতে হবে।

এবার চলো একটা জরিপ করে নেয়া যাক। এই প্রমাণ পাঠ্যপুস্তকে বা গণিত ইশকুলে আগে কখনো পড়েছ কি? দেখা যাক জানার দল ভারী হয় নাকি না-জানার দল!

যা বলছিলাম,

(i) নং এ r = [∆ABC]/s বসিয়ে পাই, AI = √{([∆ABC]/s)² + (s - a)²}

বা, AI = √{s(s - a)(s - b)(s - c)/s² + (s - a)²}

বা, AI = √{(s- a)(s- b)(s-c)/s+(s-a)²}

বা, AI = √[(s - a)/s × {(s - b)(s - c) + s(s - a)}]

বা, AI = √[(s - a)/s × {2s² - (a + b + c)s + bc}]

বা, AI = √[(s - a)/s × {2s² - 2s² + bc}]

বা, AI = √{(s - a)/s × bc} …...(iv)

একইভাবে, BI = √{(s - b)/s × ac} …...(v) এবং CI = √{(s - c)/s × ab} …....(vi)

এখন (iv), (v) ও (vi) গুণ করে পাই,

AI.BI.CI = √{(s - a)/s × bc} × √{(s - b)/s × ac} × √{(s - c)/s × ab}

বা, AI.BI.CI = √{(s - a)(s - b)(s - c)/s³ × a²b²c²}

বা, AI.BI.CI = √{s(s - a)(s - b)(s - c)/s⁴ × a²b²c²}

∴ AI.BI.CI = abc/s² × [∆ABC]

তাহলে আমাদের প্রমাণ হয়ে গেল। দেখা হবে পরবর্তী পর্বে নতুন কোনো জ্যামিতির সমস্যা নিয়ে।