সংখ্যার ভেতরের চক্রাকার জাদু: অর্ডার (Order)

স্কুল থেকে ফেরার পরই রাতুল খাতার পাতায় 3-এর ঘাতগুলো নিয়ে কিছু একটা হিসাব করার চেষ্টা করছে। খাতায় লেখা: 3¹ = 3 ≡ 3 (mod 7), 3² = 9 ≡ 2 (mod 7), 3³ = 27 ≡ 6 (mod 7)। ঠিক তখনই ঘরে ঢুকলেন গণিত ভাইয়া। রাতুলের খাতার দিকে তাকিয়ে বললেন, ‘কী রে রাতুল? 3-এর পাওয়ারগুলো দিয়ে কী করছিস?’

রাতুল বলল, ‘ভাইয়া, একটি প্রবলেমে 3²⁰²⁶-কে 7 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে, তা বের করতে হবে। আমি এক এক করে ঘাত বাড়িয়ে ভাগশেষ বের করার চেষ্টা করছি। কিন্তু এভাবে করতে গেলে তো আমার পুরো দিনই লেগে যাবে!’

গণিত ভাইয়া হেসে রাতুলের হাত থেকে কলমটা নিলেন, ‘আরে ধুর! এর জন্য তোকে 2026 পর্যন্ত যাওয়াই লাগবে না। তুই কি জানিস, ভাগশেষ এক অদ্ভুত বৃত্তাকার নিয়ম মেনে চলে? একটা নির্দিষ্ট সময় পর তারা আবার আগের জায়গায় ফিরে আসে। চল, তোর এই হিসাবটাই আরেকটু সামনে এগিয়ে নিয়ে যাই।’ গণিত ভাইয়া খাতায় লিখলেন: 3⁴ = 81 ≡ 4 (mod 7), 3⁵ = 243 ≡ 5 (mod 7), 3⁶ = 729 ≡ 1 (mod 7)। ‘এইবার দেখ, 3⁶–এ এসে আমরা ভাগশেষ কত পেলাম?’ গণিত ভাইয়া জিজ্ঞেস করলেন। ‘1 পেয়েছি!’ রাতুল বলল।

গণিত ভাইয়া বললেন, ‘ঠিক। এই 1 পাওয়াটাই হলো আসল চাবিকাঠি। এবার যদি তুই 3⁷ করিস, তবে ভাগশেষ হবে 1 × 3 ≡ 3 (mod 7). অর্থাৎ 6 নম্বর ধাপের পর ভাগশেষগুলো আবার প্রথম থেকে হুবহু পুনরাবৃত্তি হতে থাকবে। এই যে ঠিক যত পাওয়ার করার পর ভাগশেষ আবার 1–এ ফিরে আসে, এই ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটিকে বলা হয় অর্ডার (Order); অর্থাৎ যদি a এবং n পরস্পর সহমৌলিক হয়, তবে ক্ষুদ্রতম যে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা d-এর জন্য a^d ≡ 1 (mod n) হয়, সেই d-কে n মডুলোতে a-এর Order বলা হয়। একে লেখা হয় ord_n(a) = d.

‘7 মডুলোতে 3-এর অর্ডার হলো 6। কারণ, 3⁶ ≡ 1 (mod 7)। একে আমরা লিখতে পারি ord₇(3) = 6. এবার দেখ, এই অর্ডার দিয়ে তোর প্রবলেমটা কীভাবে সমাধান করা যায়। যেহেতু প্রতি 6 পাওয়ার পরপর ভাগশেষ 1 হয়ে যাচ্ছে, তাই আমরা ওপরের পাওয়ার 2026-কে 6 দিয়ে ভাগ করব।’

রাতুল বলল, 2026 = 6 × 337 + 4. ‘তার মানে, 6 করে মোট 337 বার চক্রটি পূর্ণ হবে, আর হাতে অবশিষ্ট থাকবে মাত্র 4।’ গণিত ভাইয়া লিখলেন: 3²⁰²⁶ = 3^6×337+4 = (3⁶)³³⁷ × 3⁴.

যেহেতু 3⁶ ≡ 1 (mod 7), তাই 3²⁰²⁶ ≡ 1³³⁷×3⁴ ≡ 3⁴ ≡ 4 (mod 7).

রাতুল বলল, ‘বুঝতে পেরেছি! এই রকম বড় সংখ্যাকে অর্ডার দিয়ে একদম ছোট করে ফেলা যায়!’

অর্ডারের তিনটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

বৈশিষ্ট্য ১: যদি a^k ≡ 1 (mod n) হয়, তবে k সংখ্যাটি অবশ্যই অর্ডার d = ord_n(a) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে অর্থাৎ ord_n(a) | k.

বৈশিষ্ট্য ২: Euler’s Totient Theorem অনুযায়ী, a^φ(n) ≡ 1 (mod n).

যেহেতু এ পাওয়ারটি 1 দেয়, তাই বৈশিষ্ট্য ১ অনুযায়ী যেকোনো সংখ্যার অর্ডার d সব সময় φ(n)-এর একটি উৎপাদক হবে অর্থাৎ ord_n(a) | φ(n).

যেমন: φ(7) = 6, আর আমাদের অর্ডারের মান 6 এসেছে, যা 6-এর উৎপাদক।

বৈশিষ্ট্য ৩: a^x ≡ a^y (mod n) কেবল তখনই হবে যখন (x-y), অর্ডার ord_n(a)–এর গুণিতক হবে বা x-y ≡ 0 (mod ord_n(a)) হবে।

‘ভাইয়া, অর্ডার ব্যবহার করে একটা প্রবলেম সলভ করে দেখাও না!’ রাতুল আবদার করল।

‘আচ্ছা, ধর তোকে প্রমাণ করতে হবে যে 2ⁿ + 1 যদি একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে n কে অবশ্যই 2-এর কোনো ঘাত হতে হবে; অর্থাৎ n = 2^k,’ গণিত ভাইয়া বললেন। ‘এটা অর্ডার দিয়ে প্রমাণ করা যায়।’

ধরলাম, 2ⁿ + 1 = p, যেখানে p একটি মৌলিক সংখ্যা। আমরা লিখতে পারি: 2ⁿ ≡ -1 (mod p).

উভয় পক্ষকে বর্গ করলে পাই: 2²ⁿ ≡ 1 (mod p).

যেহেতু 2²ⁿ ≡ 1 (mod p)। তার মানে, 2-এর অর্ডার (ধরি d), অবশ্যই 2n-কে ভাগ করবে; অর্থাৎ d | 2n’ ‘কিন্তু ভাইয়া, d কি n কে ভাগ করতে পারবে?’

রাতুল ভাবল। ‘না! কারণ, যদি d | n হতো, তবে 2ⁿ ≡ 1 (mod p) হয়ে যেত। কিন্তু আমরা জানি 2ⁿ ≡ -1 (mod p)। তাই d সংখ্যাটি 2n-কে ভাগ করলেও n কে ভাগ করতে পারে না। এর ব্যাখ্যা হলো, d-এর ভেতরে 2-এর যে পাওয়ার আছে, তা n-এর চেয়ে বেশি। যেহেতু 2²ⁿ ≡ 1 (mod p), তাই d নিজে অবশ্যই 2-এর কোনো একটি পাওয়ার এবং n-ও 2-এর পাওয়ার হতে বাধ্য!’

এভাবেই অর্ডার ব্যবহার করে অনেক জটিল সমস্যার সমাধান করা যায়।

তোমাদের জন্য:

১.     প্রমাণ করো, যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য 5ⁿ + 2 × 3^n-1 + 1 সংখ্যাটি সর্বদা 8 দ্বারা বিভাজ্য।

২.     এমন সব মৌলিক সংখ্যা p নির্ণয় করো যেন 2^p + 1 সংখ্যাটি p দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।

৩.    এমন সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n > 1 নির্ণয় করো, যেন ​​​2​​ n​ + 1 _ ​n​​ 2​ ​​ একটি পূর্ণসংখ্যা হয়।

সহযোগিতায়: বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড কমিটি