উ চ্চ ত র গ ণি ত

জ্যামিতি  অনুশীলনী-৪
প্রিয় শিক্ষার্থী, আজ জ্যামিতি অংশ থেকে অনুশীলনীর এক্সট্রার সমস্যার সমাধান করব।

প্রশ্ন: O কেন্দ্রিক কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু P থেকে ওই বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক। দেখাও যে,
PAB : AOB = PA2 : OA2

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, O কেন্দ্রিক কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু P থেকে PA ও PB দুটি স্পর্শক। O, A; O, B এবং A, B যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, PAB : AOB = PA2 : OA2
অঙ্কন: O, P যোগ করি। PO, AB কে C বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ: AOP এবং BOP-এ
OA=OB
PA=PB
এবং OP বাহু সাধারণ
 AOP  BOP
 AOP = BOP
এবং APO = BPO
আবার, AOC ও BOC এ
OA=OB,
OC বাহু সাধারণ
এবং অন্তর্ভুক্ত AOC=অন্তর্ভুক্ত BOC
 AOC  BOC
 ACO = BCO
কিন্তু কোণ দুটি একই রৈখিক যুগল কোণ বলে প্রত্যেকে এক সমকোণ।
আবার,
OAC+AOC = এক সমকোণ
[ ACO এক সমকোণ]
এবং PAC+OAC = এক সমকোণ [ OAP এক সমকোণ]
OAC+AOC=PAC+OAC
বা, AOC = PAC
এখন, AOC ও ACP এ
ACO = ACP
AOC = PAC
এবং অবশিষ্ট OAC = অবশিষ্ট APC
 AOC এবং ACP সদৃশকোণী।
 উহারা সদৃশ।

বা,
বা,
 PAB : AOB = PA2 : OA2
(প্রমাণিত)
প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর ওপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব। দেখাও যে, ABC : AEF = AB2 : AE2

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর ওপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব। E, F যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ABC : AEF = AB2 : AE2
প্রমাণ: BEAC এবং CFAB
 BEC = BFC = 90হ্ন
 BC কে ব্যাস ধরে একটি বৃত্ত আঁকলে এটি E ও F বিন্দু দিয়ে যাবে। কারণ, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ।
 BCEF একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।
 বৃত্তস্থ BCEF চতুর্ভুজের বহিঃস্থ AEF = বিপরীত অন্তঃস্থ ABC এবং বহিঃস্থ AFE বিপরীত অন্তঃস্থ ACB
এখন, ABC ও AEF-এ
ABC = AEF
ACB = AFE
এবং A সাধারণ
 ABC ও AEF সদৃশকোণী
সুতরাং ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।
AB ও AE তাদের অনুরূপ বাহু
 ABC : AEF = AB2 : AE2 (প্রমাণিত)।

সহকারী শিক্ষক, সরকারি বিজ্ঞান কলেজ সংযুক্ত হাইস্কুল