পড়ানো শেষ করে রশ্মি ফারিনকে জিজ্ঞাসা করল, তোমার মনে আছে, গতকাল বলেছিলাম তোমার সঙ্গে নতুন একটা জ্যামিতি করব?
জি আপু।
আচ্ছা, তাহলে প্রশ্নটা লিখি।
∆ABC ত্রিভুজের AB = c, BC = a, AC = b বাহুর ওপর যথাক্রমে CE, AF ও BG লম্ব। প্রমাণ করতে হবে, [∆ABC] = pR, যেখানে p হলো ∆EFG ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা এবং R হলো ∆ABC ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ।
এখন খেয়াল করো, [∆ABC] ত্রিভুজের সঙ্গে R ও p এর সম্পর্ক বের করতে হবে। একটু চিন্তা করলেই বুঝতে পারবে, [∆ABC] ত্রিভুজের সঙ্গে ∆EFG ত্রিভুজের অন্তব্যাসার্ধের সম্পর্ক বের করতে পারলেই আমরা মূল সম্পর্কটা বের করতে পারব। কারণ, আমরা আগেই জেনেছি, কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো ওই ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা ও অন্তব্যাসার্ধের গুণফলের সমান।
তবে শুরুতে আমাদের ∆ABC ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R–এর সঙ্গে ∆EFG ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধের (X ধরে) সম্পর্ক বের করতে হবে। এবার চিত্রটা এঁকে নিই।
শুরুতে কোণ নিয়ে একটু ঘাঁটাঘাঁটি করি। দেখো, ∠GAO = ∠GEO। কারণ, AGOE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং ∠FBO = ∠FEO। কারণ, BFOE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। আবার,
∠GAO = ∠FBO।(কেন বলো তো!)
∴ ∠GEO = ∠FEO।
একইভাবে,
∠GFO = ∠EFO এবং ∠EGO = ∠FGO
এখন, OE, OF ও OG রেখা বর্ধিত করি, যা বৃত্তকে যথাক্রমে R, P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
চিত্রে লক্ষ করলে বুঝবে, ∆PQR ও ∆ABC উভয় ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ একই, অর্থাৎ R।
আবার, ∆PQR ও ∆EFG ত্রিভুজসদৃশ এবং তাদের অনুরূপ বাহুদ্বয়ের অনুপাত 1: 2।
এটা আবার কীভাবে সম্ভব?
দেখো, ∠FAB = ∠BCE ও ∠BCE = ∠BAR (একই চাপ BR–এর ওপর দণ্ডায়মান)।
ফলে ∠FAB = ∠BAR এবং AE⊥OR। তাহলে, AE, OR রেখাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ OE = ER।
একইভাবে, OF = FP, OG = GQ।
তাই ∆PQR ও ∆EFG ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলো সমান্তরাল। বাকিটা তুমিই প্রমাণ করতে পারবে এখন।
তাহলে এখন আমরা বলতে পারি,
X = R/2 …(i),
কেননা দুটি সদৃশ ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত 1: 2 হলে তাদের পরিব্যাসার্ধের অনুপাতও 1: 2 হবে।
আচ্ছা ফারিন, তুমি কি ∆EFG ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ X ও অন্তব্যাসার্ধের (r ধরে) মধ্যে সম্পর্কটা জানো?
হ্যাঁ আপু, গণিত ইশকুলের পাতায় প্রমাণটা দেখেছিলাম।
তাহলে, X = efg/4rp …(ii), যেখানে,
EF = g, FG = e, EG = f এবং p হলো ∆EFG–এর অর্ধপরিসীমা।
(i) হতে পাই, R/2 = efg/4rp
বা, efg/2r = pR …(iii)
এখন, ∆AOC~∆EOF, ফলে, b/GO = g/r
∆BOC~∆GOE, ফলে, a/FO = f/r
এবং , ∆AOB~∆GOF, ফলে, c/EO = e/r
∴ abc/(GO.FO.EO) = efg/r3 …(iv)
আবার, গল্পে গল্পে জ্যামিতি-৬ (মনে না থাকলে পড়ে এসো এখনই) থেকে পাই,
GO.FO.EO = efg × ∆[EFG]/p2
এবং (iv) হতে পাই,
abc/(efg × [∆EFG]/p2) = efg/r3
বা, abc = {(efg)2 × [∆EFG]}/p2r3
বা, abc = {(efg)2 × pr}/p2r3
বা, abc = (4/p) × (efg/2r)2
বা, abc = (4/p) × (pR)2 [(iii) হতে]
বা, abc/4R = pR
∴ [∆ABC] = pR