“ ... clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, ... nor does lightning travel in a straight line” — Benoit B. Mandelbrot
গণিত প্রকৃতির এক অনবদ্য সংজ্ঞা, যা প্রতিকূলতার ঊর্ধ্বে নিজস্ব নিয়মে প্রবহমান। এমনকি কখনো কখনো প্রতিকূলতাও গণিতের অধীন, গাণিতিক পরম সত্যের বেড়াজালে তাণ্ডবলীলা চালায়। এ এমনই এক পরম নিয়ম, যা প্রয়োগে সক্ষমতার কারণে মানুষ আজ অজেয়, প্রতিকূলতার চারপাশে নিজস্ব প্রতিরোধের আবরণ প্রতিষ্ঠায় সক্ষম সর্বশ্রেষ্ঠ সত্তা। কঠিন কঠিন কথাবার্তা রাখি, আসল কথায় আসা যাক। তোমরা তো জানো, সূর্যমুখী, গোলাপ ফুল বা শামুক—এ রকম প্রকৃতির বিবিধ স্থানে ফিবোনাক্কি সিরিজ আর গোল্ডেন রেশিওর মধ্যে অনবদ্য সম্পর্ক দেখা যায়। আমরা দেখি, বইপত্র পড়ি আর অবাক হই। প্রকৃতির সঙ্গে নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত এমন আরেক ধরনের জ্যামিতি আছে। সেসব জ্যামিতি আমাদের আরও বেশি বেশি অবাক করে, ভাবায়। এ ধরনই হলো ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতি। আমরা ধীরে ধীরে অবাক হতে হতে সামনের পর্বগুলোয় ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতি শিখে ফেলব। আজ শুধু গল্প বলি, আগামী পর্ব থেকে আমরা খাতা-কলম নিয়ে বসব।
সুপ্রাচীন আমল থেকে জ্যামিতি বলতে মানুষ কেবল ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতিই চিনত। এটা দিয়েই যত মাপামাপি, পড়াশোনা, আঁকাআঁকি। ওপরে যে উক্তি দিয়েছি, এখানে ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি প্রয়োগ করতে গেলেই একটা মজার সমস্যা পেতে পারো!
১৯৭৫ সালে ম্যান্ডেলব্রট ‘ফ্র্যাক্টাল’ টার্মটির সঙ্গে আমাদের পরিচিতি ঘটান। তিনি মূলত কিছু ম্যাথমেটিক্যাল মনস্টারসের ব্যাপারে পড়াশোনা করতে গিয়ে শব্দটি আমাদের সামনে নিয়ে আসেন। তরুণ ম্যান্ডেলব্রট তখনকার অন্যতম দুই প্রফেসর জি জুলিয়া ও পি ফ্যাটোর কিছু গবেষণাপত্র পড়ার সময় এসব মনস্টারের চেহারা দেখতে পান। মজার বিষয়, ম্যান্ডেলব্রট যখন পলিটেকনিকের ছাত্র, ঘটনাক্রমে তিনি জি জুলিয়ারই ছাত্র ছিলেন। এ সময় ম্যান্ডেলব্রট জ্যামিতিতে পুনরাবৃত্তিমূলক আচরণের প্রতি আকৃষ্ট হয়ে ওঠেন। ম্যান্ডেলব্রটের আবিষ্কারের আগে এসব মনস্টারে কোনো প্যাটার্ন খুঁজে পাওয়া যাচ্ছিল না। তিনিই প্রথম এগুলোয় প্যাটার্ন লক্ষ করেন এবং এর মাধ্যমে তিনি ম্যাথমেটিকসের জগতে একটা নতুন শব্দের সূচনা করেন। এর মাধ্যমে গণিতের জগতে এক নতুন সদস্যের পরিচিতি ঘটান, যার কারণে নন-ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির জগতে এক বিপ্লব ঘটে গেল।
ম্যান্ডেলব্রট ‘ফ্র্যাক্টাল’ টার্মটির সঙ্গে আমাদের পরিচয় ঘটাতে পেরেছিলেন বটে, তবে তিনি কোনো গাণিতিক সংজ্ঞা দাঁড় করাতে পারেননি। আসলে সত্যি কথা বলতে কি, ফ্র্যাক্টাল শব্দটির কোনো যথাযোগ্য সংজ্ঞা দেওয়া সম্ভব নয় বা একটি সংজ্ঞার মধ্যে ফ্র্যাক্টালকে আনা সম্ভব নয়। এগুলোকে আসলে বলা যায়, ‘নিজেই নিজের সদৃশ’, তবু যেন এখানে সবটা আসছে না—এ রকম। চলো এবার আমরা এক কাজ করি, ট্রায়াডিক কচ গ্রাফের চেহারা দেখি। তাহলে ‘নিজেই নিজের সদৃশ’ বিষয়টা পরিষ্কার হবে।
এই গ্রাফের শুরুটা হয় একটি সরলরেখা দিয়ে। n দিয়ে আমরা জেনারেশন বা তম দেখাব। অর্থাৎ 0–তম জেনারেশনে এটা সরলরেখা।
আচ্ছা, তোমরা গ্রাফের ফাংশনটা জানতে চাও? এই গ্রাফের n–তম জেনারেশনের দৈর্ঘ্যের ফাংশন: L(δ) = (4 / 3 ) n
আর প্রতিটি ছোট রেখার সমীকরণ:
L(δ) = (3 ) −n
সুদূর ভবিষ্যতে গ্রাফটা কেমন হবে দেখো! :
এখানে যে কত ছানাবড়া লুকিয়ে আছে, পরের পর্বগুলোয় দেখবে ধীরে ধীরে! আজ যাই, কেমন? দেখা হবে ফ্র্যাক্টালের নতুন নতুন চমকের সঙ্গে। তত দিন ভালো থেকো।