আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াড - ২০২২ (সমস্যা ৫ এর সমাধান)

এমন সকল ধনাত্নক পুর্ণসংখ্যার ত্রয়ী (a, b, p) নির্ণয় করো, যেখানে p মৌলিক সংখ্যা এবং a^p = b! + p.

সকল সমাধান হলো, (a, b, p) = (2, 2, 2), (3, 4, 3).

প্রথমে খেয়াল করো যে, কোনো মৌলিক সংখ্যা p এর জন্য, 1 < (1 + p)^1/p < 2. সুতরাং, b = 1 হওয়া অসম্ভব।

যদি 2 ≤ b < p, তাহলে এমন একটি মৌলিক সংখ্যা q আছে, যেন q | (b! + p) = a^p. তাহলে q > b.

কিন্তু (b! + p) ≤ b^p < q^p ≤ a^p, যখন 2 ≤ b < p, যা অসম্ভব।

যদি b ≥ p, তাহলে a = kp, যেখানে k একটি ধনাত্নক পূর্ণসংখ্যা। খেয়াল করো যে, v_p(a^p – p) = 1.

সুতরাং, b < 2p.

আবার k < p থেকে পাই, (kp)^p ≤ (2p – 1)! + p. যদি কোনো মৌলক সংখ্যা q < p থাকে, যেখানে q | k, তাহলে b < p, কিন্তু (kp)^p > (2p – 1)! + p, যা অসম্ভব।

সুতরাং, k = 1.

খেয়াল করো যে, v₂(p^p – p) ≤ 2log₂(p – 1)  [Lifting the exponent lemma]

এবং v₂(p!) ≥ p – log₂(p + 1)   [Legengre’s Formula]

সুতরাং,  p – log₂(p + 1) ≤ 2 log₂(p - 1)

⇒ p < 10

এবার, p = 2, 3, 5, 7 এর ক্ষেত্রে চেক করে দেখা যাচ্ছে যে উপরের ২টি ত্রয়ী-ই একমাত্র সমাধান।