এসএসসি পরীক্ষার প্রস্তুতি: গণিত ও সামাজিক বিজ্ঞান

ক্রমজোড়
প্রিয় শিক্ষার্থীরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আশা করি, তোমরা ভালো আছ। আজকে ক্রমজোড় ও কার্তেসীয় গুণজ সম্পর্কে ধারণা নেব এবং এ-সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান করব।

ক্রমজোড় (Ordered Pair): এক জোড়া উপাদানের মধ্যে কোনটি প্রথম অবস্থানে আর কোনটি দ্বিতীয় অবস্থানে থাকবে, তা নির্দিষ্ট করে জোড়া আকারে প্রকাশকে ক্রমজোড় বলা হয়।
যদি কোনো ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদান x এবং দ্বিতীয় উপাদান y হয়, তবে ক্রমজোড়টি (x, y) হবে। ক্রমজোড় (x, y) ও (a, b) সমান বা (x, y) = (a, b) হবে, যদি x = a এবং y = b হয়।
প্রশ্ন: (ax - cy, a2 - c2) = (o, ay - cx) হলে (x, y)-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান: দেওয়া আছে
(ax - cy, a2 - c2) = (o, ay - cx)
সুতরাং, ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
ax - cy = o ..................(i)
এবং a2 - c2 = ay - cx
বা, - cx + ay = a2 - c2 ..............(ii)
সমীকরণ (i)-কে a এবং (ii)-কে c দ্বারা গুণ করে পাই,
a2x - acy = 0
- c2x + acy = a2c - c3
(যোগ করে) x(a2 - c2) = c(a2 - c2)
x = c
সমীকরণ (i)-এ x = c বসিয়ে পাই,
a.c - cy = o
বা, -cy = -ac
y = a
(x, y) = (c, a)
কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product): যদি A = {a, b, c} এবং B = {x, y} হয়, তবে সেট দুটির কার্তেসীয় গুণ হবে A  B, যা ক্রমজোড় আকারের একটি সেট হিসেবে প্রকাশ করা হয়। ওই ক্রমজোড়ের সেটকে কার্তেসীয় গুণজ সেট বলে এবং ওই ক্রমজোড়ের সেটকে লেখা হয়—
A B = {a, b, c}  {x, y}
= {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)}
এটিই কার্তেসীয় গুণজ সেট।
সেট গঠনপদ্ধতি: A B = {(x, y) : xA এবং y B} A  B-কে পড়া হয় A ক্রস B বা A cross B।
প্রশ্ন: P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} এবং R = P Q হলে, P  R এবং R Q নির্ণয় করো।
সমাধান: দেওয়া আছে,
P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4}
এবং R = P Q = {1, 2, 3,} {3, 4} = {3}
P R = {1, 2, 3}  {3}
= {(1, 3), (2, 3), (3, 3)}
এবং R Q = {3}  {3, 4}
={(3, 3), (3, 4)}