বলুন তো দুই অঙ্কের সংখ্যাটি কত?

দুই অঙ্কের সংখ্যাটি বেশ মজার। নিশ্চয়ই সবাই সহজে এর উত্তর দেবেন। সেই সমস্যায় যাওয়ার আগে আসুন গণিতের দুটি সহজ সমস্যার সমাধান বের করি।

প্রশ্ন হলো, বলুন তো পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম কোন সংখ্যার প্রতিটি অঙ্ক বিজোড় এবং প্রতিটিই আলাদা, অর্থাৎ কোনো অঙ্কই দুবার থাকবে না? এর সহজ উত্তর হলো, প্রথমে ৯ দিয়ে শুরু করে এরপর ক্রমান্বয়ে ৭, ৫, ৩ ও ১ বিজোড় অঙ্কগুলো লিখি। তাহলে সংখ্যাটি হবে ৯৭৫৩১। এটিই নির্ণেয় পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা, যার প্রতিটি অঙ্ক বিজোড় ও আলাদা।

এ রকম আরেকটি সমস্যা দেখুন। বলুন তো ৩, ৫, ৭ ও ৯ দিয়ে চার অঙ্কের কতটি সংখ্যা হতে পরে, যার কোনোটিতেই একই অঙ্ক একবারের বেশি ব্যবহার করা হয়নি? এর উত্তরের জন্য আমরা প্রথমে দেখব, যেহেতু চার অঙ্কের সংখ্যা, তাই চারটি অঙ্ককে প্রথম ঘরে চারভাবে লেখা যাবে। এরপর থাকবে তিনটি সংখ্যা, যেখানে তিনভাবে পরবর্তী ঘর পূরণ করা যাবে। এভাবে হিসাব করে বলা যায়, ৪ × ৩ × ২ × ১ = ২৪টি সংখ্যা হতে পারে।

এ সপ্তাহের ধাঁধা
আচ্ছা বলুন তো, দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার এককের ঘরে যদি ৫ থাকে এবং মূল সংখ্যার অঙ্ক দুটির যোগফল যদি সংখ্যাটির ৫ ভাগের ১ অংশ হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত?

খুব সহজেই এ ধাঁধার উত্তর বের করা যায়। চেষ্টা করুন। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা quayum@gmail.com ই-মেইলে উত্তর পাঠিয়ে দিন।

গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
প্রশ্নটি ছিল এ রকম: একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা থেকে ৪৫ বিয়োগ করলে বিয়োগফল যদি আরেকটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তাহলে পূর্ণবর্গ সংখ্যা দুটি কত?

উত্তর
পূর্ণবর্গ সংখ্যা দুটি (৪৯ ও ৪) অথবা (৮১ ও ৩৬)। এ রকম আরও উত্তর রয়েছে। বীজগণিতের সূত্র ব্যবহার করে সেগুলো বের করা যায়। বিস্তৃত ব্যাখ্যাসহ সঠিক উত্তর অনেক পাঠক দিয়েছেন। সবাইকে ধন্যবাদ।

কীভাবে উত্তরটি বের করলাম
যেহেতু বর্গ সংখ্যা দুটির পার্থক্য মাত্র ৪৫, তাই আমরা প্রথম দিকের কয়েকটি বর্গসংখ্যার বিয়োগফল পরীক্ষা করে সহজেই উত্তর বের করতে পারি। প্রথম দিকের বর্গ সংখ্যাগুলো হলে ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০ প্রভৃতি। এখন ৪৫-এর সঙ্গে ক্রমান্বয়ে ৪, ৯, ১৬...প্রভৃতি যোগ করে পরীক্ষা করলে দেখব, (৪৫ + ৪) = ৪৯, একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা, (৪৫ + ৩৬) = ৮১ আরেকটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। ইত্যাদি।

বীজগণিতের নিয়ম অনুসরণ করেও এর উত্তর বের করা যায়। যেমন বর্গ সংখ্যা দুটি যদি (ক)^২ ও (খ)^২ হয়, তাহলে শর্ত অনুযায়ী (ক)^২ - ৪৫ = (খ)^২। অথবা আমরা বলতে পারি, (ক)^২ - (খ)^২ = ৪৫। সুতরাং (ক + খ) (ক - খ) = ৪৫। এখন আমরা ৪৫-এর উৎপাদকগুলো যদি পরীক্ষা করি, তাহলে দেখব (৯ ও ৫) অথবা (১৫ ও ৩) উৎপাদকগুলো আমাদের এখানে কাজে লাগবে। তাই বলতে পারি, (ক + খ) (ক - খ) = ৫ × ৯ = ১৫ × ৩। অর্থাৎ যদি (ক + খ) = ৯ ও (ক - খ) = ৫ হয়, তাহলে ক = ৭ ও খ = ২ একটি উত্তর। কারণ, ৭-এর বর্গ ৪৯ ও ২-এর বর্গ ৪ এবং এ দুটি সংখ্যার বিয়োগফল ৪৫। আবার যদি (ক + খ) = ১৫ ও (ক - খ) = ৩ হয়, তাহলেও হিসাব মিলে যায়। কারণ, সে ক্ষেত্রে ক = ৯ ও খ = ৬। ৯-এর বর্গ = ৮১ ও ৬-এর বর্গ ৩৬। তাদের বিয়োগফল (৮১ - ৩৬) = ৪৫। এ রকম আরও উত্তর হতে পারে।

আব্দুল কাইয়ুম : সম্পাদক, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তা

সংশোধনী:
এ সপ্তাহের ধাঁধা অংশে ভুল করে লেখা হয়েছিল: ‘আচ্ছা বলুন তো, দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার এককের ঘরে যদি ৫ থাকে এবং মূল সংখ্যার অঙ্ক দুটির যোগফল যদি সংখ্যাটির ৯ ভাগের ১ অংশ হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত?’

সঠিক ধাঁধা হবে: ‘আচ্ছা বলুন তো, দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার এককের ঘরে যদি ৫ থাকে এবং মূল সংখ্যার অঙ্ক দুটির যোগফল যদি সংখ্যাটির ৫ ভাগের ১ অংশ হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত?’