ভাগশেষ উপপাদ্য দিয়ে উৎপাদক নির্ণয় | গণিত ইশকুল

গত পর্বে আমরা ভাগশেষ উপপাদ্যের ব্যাপারে কিছুটা ধারণা পেয়েছি। কিন্তু, এই ভাগশেষ থেকে উৎপাদকে বিশ্লেষণও কিন্তু করা যায়। কীভাবে, চিন্তা করে দেখো তো। আচ্ছা বলছি, শোনো তাহলে। আগেই বলেছি যে ভাগশেষ শূন্য করতে পারলেই ভাজক হলো ভাজ্যের একটা উৎপাদক।

তাহলে এখন f(x) এর জন্য এমন একটা a খুঁজতে হবে, যাতে f(a) = 0 হয়, এবং এটা পেলেই বলে দিতে পারব (x-a) দিয়ে ভাজ্যকে নিঃশেষে ভাগ করে ফেলা যায়। আর একেই মূলত উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) বলা হয়।

তাহলে, ভাগশেষ উপপাদ্য বা উৎপাদক উপপাদ্য প্রয়োগ করে আমরা কোনো একটা n ঘাতের সমীকরণের জন্য একটা এক ঘাতের উৎপাদক এবং আরেকটা (n-1) ঘাতের রাশি বা উৎপাদক নির্ণয় করে ফেলতে পারি।

দ্বিঘাত সমীকরণের ক্ষেত্রে এটুকুই যথেষ্ঠ মনে হলেও ত্রিঘাত বা n ঘাতের কোনো সমীকরণ সামনে এলে ওই পরবর্তী (n-1) ঘাতের ওপর হয়তো আরও এক, দুই বা ততোধিকবার ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করতে হতেও পারে। কিংবা Middle Term Break বা মধ্যপদ বিভক্তিকরণ ব্যবহার করেও সুন্দর কয়েকটা এক ঘাতের উৎপাদক তোমরা পেয়ে যাবে।

এবার একটু অন্যভাবে চিন্তা করি। আমরা f(x) = r করতে x = a বসিয়ে দ্বিতীয় ধাপে f(a) কে অর্থাৎ ভাগশেষ r কে শূন্য বানিয়ে একটা পর্যায়ে গিয়ে বলেছি (x-a) হলো উক্ত ফাংশনের একটা উৎপাদক। অথচ, যদি আমাদের উৎপাদক (x+a), (ax+b) কিংবা (ax-b) আকারের হয়ে থাকে, সে ক্ষেত্রে আমরা কী করব?

এই তিন রকম ঘটনা সামাল দিতেই পরবর্তী আলোচনা। মনে রাখবে, আমাদের ফাংশনের সব উৎপাদকই হলো ভাজক, যেহেতু আগেই ভাগশেষ শূন্য নিশ্চিত করেছি।

ফাংশন নিজে হলো ভাজ্য এবং আমাদের কাজ হলো এমন একটা ভাজক (x-c) খোঁজা, যার জন্য f(c) = 0 হয়।

ঘটনা ১: f(x) এর একটি উৎপাদক (x+a) হয়,

তাহলে, f(x) = (x+a).h(x) + r

পূর্বের ন্যায় (x+a) কে শূন্য করে প্রথম অংশকে নাকচ করতে x = -a বসিয়ে,

f(-a)=(-a+a).h(-a) +r

বা, f(-a) = 0.h(-a) + r

বা, f(-a) = r

অর্থাৎ, f(-a) এর জন্য f(x) কে (x+a) দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগশেষ পাওয়া যাবে। আর এই ভাগশেষকেই তো আমাদের 0 বানাতে হবে। তাই বলা যায়, আমরা f(-a) = 0 দেখাতে পারলে (x+a) কে f(x) এর একটি উৎপাদক বলা চলে।

ঘটনা ২: উৎপাদক যদি (ax+b) হয়,

f(x) = (ax + b).h(x) + r

বা, f(x) = a(x + b/a).h(x) + r

অর্থাৎ, f(x) = (x + b/a).a.h(x) +r

একই ধারাবাহিকতায় এখানে (x + b/a) কে ভাজক ধরলে ভাগফল হবে a.h(x) এবং

x + b/a= 0 করার জন্য x = -b/a নিয়ে উক্ত সমীকরণের ভাগশেষ তথা r= f(-b/a) = 0 দেখাতে হবে।

ঘটনা ৩: (ax-b) আকারের উৎপাদকের জন্য,

f(x) = (ax - b).h(x) + r

বা, f(x) = a(x - b/a).h(x) + r

অর্থাৎ, f(x) = (x - b/a).a.h(x) +r

এখানে (x - b/a) কে ভাজক ধরলে ভাগফল হবে a.h(x) এবং x - b/a= 0 করার জন্য

x = b/a নিয়ে উক্ত সমীকরণের ভাগশেষ তথা r= f(b/a) = 0 দেখাতে হবে।

এভাবে, ভাগশেষ উপপাদ্যের সাহায্যে ভাগশেষ শূন্য (r = 0) করার মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয়ের পদ্ধতিকে শূন্যায়ন পদ্ধতি (Vanishing Method) বলা হয়।

গণিত উৎসবের এই মৌসুমে তোমাদের সবার জীবনের সেকেন্ড ডিফারেনশিয়াল নেগেটিভ হোক, এই আশা রেখে আজকের আলোচনায় এখানেই ইতি টানছি। জয়তু গণিত।