ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতির অনেক অনেক উদাহরণ দেখার মাধ্যমে আমরা ধীরে ধীরে এগুলো শিখে নেব বলেছিলাম। গত দুই পর্বে দুটি ফ্র্যাক্টালের উদাহরণ আর তাদের ব্যাখ্যা দিয়ে ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতির একটা আকৃতি তোমাদের সামনে তুলে ধরার চেষ্টা করা হয়েছে। এবার তোমরা নিচের চিত্রগুলো চটপট দেখে ফেলো। এগুলো নিয়ে ব্যাখ্যা–বিশ্লেষণে যাচ্ছি না, তবে ছবির নিচে প্রতিটি ফাংশনের নাম ও সমীকরণ দিয়ে দিচ্ছি।
ফ্র্যাক্টাল সম্বন্ধে কী ধারণা পাওয়া যাচ্ছে? এখনো ধারণা না পেলে সমস্যা নেই, দেখতে থাকো!
চলো আরেক ধরনের ফাংশনের ফ্র্যাক্টাল ফাংশন শিখি। জুলিয়া সেট ফাংশন হলো একপ্রকার দ্বিঘাত সমীকরণ। ফাংশনটি হলো: f(x) = z 2 + c। এখানে c হলো ধ্রুবক। আগে আমরা ক্যান্টর সেট আর ভন-কচ কার্ভে দেখেছিলাম, ফ্র্যাক্টালগুলো ‘নিজেই নিজের সদৃশ’ ছিল। কিন্তু ইনি আবার একটু অন্য রকম। এনারা হলেন ‘নিজেই নিজের আধা সদৃশ’! এর ছোট অংশগুলো বড় অংশটির অর্ধেকের সমান। ফাংশনটার ডায়াগ্রামটা দেখো!
আরেকটা ফাংশন দেখাই। ফাংশনটা হলো
f(t)= ∑ k=0 ∞ (3 / 2 ) −k/2 sin((3 / 2 ) k t). এটার চেহারা—
এই ফাংশনে যতই অসীমের দিকে যেতে থাকবে, ততই দেখবে একটা সুন্দর আকৃতি চোখে পড়বে। আরেকটা মজার বিষয়, তুমি কিন্তু এখানে ক্ল্যাসিক্যাল ক্যালকুলাসও ব্যবহার করতে পারছ!!
আমরা আগেই বলেছিলাম, ফ্র্যাক্টালে ক্ল্যাসিক্যাল জ্যামিতি আর ক্যালকুলাস ব্যবহারযোগ্য নয়। তাই আমাদের বিকল্প এক পদ্ধতি দরকার। ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতির মূল অস্ত্র হচ্ছে আকৃতিভেদে এর মাত্রা কী রকম হয়, সেটা দেখা। এটা তো সবারই জানা যে রেখা একমাত্রিক আর পৃষ্ঠতল দ্বিমাত্রিক। এ রকম যেকোনো ফ্র্যাক্টালকেই যদি বিভিন্ন দিক থেকে দেখা যায়, তবে দেখা যাবে, কোনো না কোনো দিক থেকে এটাকে এমনভাবে কাটা যাবে যে ছোট টুকরাগুলো বড় টুকরাটার সমান হবে। হিলবার্ট কার্ভ দিয়ে ব্যাপারটা খুব ভালোভাবে দেখতে পারবে। সহজ বাংলায় Hilbert Curve হলো এমন একটা একমাত্রিক বস্তু, যেটা একটা দ্বিমাত্রিক জায়গা ভরাট করতে পারে, চাইলে অন্য মাত্রায়ও নিয়ে যাওয়া যায়! তোমরা জিনিসটা অনুভব করতে চাও? আমাদের গণিত অলিম্পিয়াডের একাডেমিক টিম মেম্বার মোয়ায মাহমুদ Hilbert Curve দিয়ে যেকোনো ছবি (এমনকি নিজের ছবিও!) ভরাট করা যায়, এমন একটা প্রজেক্ট বানিয়েছেন! তোমরা সেটা ব্যবহার করে দেখতে চাও? নিচের QR code স্ক্যান করে দেখতে পারো!